分数阶系统投影同步的定义

投影同步是指在耦合两个混沌系统时，在一定条件下存在一个比例因子。这个比例因子不仅可以使驱动系统和响应系统的各对应状态达到相位锁定，而且各状态的振幅还会按某一固定的比例关系进行同步演化。分数阶系统投影同步的定义与整数阶系统投影同步类似，同样具有修正投影同步、函数投影同步和修正函数投影同步等扩展形式。

定义4.1　投影同步。设两个耦合的分数阶混沌系统为

其中，x＝（x1，x2，…，xn）和y＝（y1，y2，…，yn）∈Rn为两个系统的状态变量，Dqx（t）为采用Caputo分数阶微分定义的分数阶导数。如果存在一个非零常数α，使得驱动系统和响应系统的所有轨迹（x（t），y（t）），在任意初始状态（x（0），y（0））下，均满足

则称驱动系统和响应系统达到投影同步（Projective Synchronization，PS），称α为比例因子。其中，当α＝1和α＝－1时，该投影同步退化成完全同步和反同步，即投影同步是完全同步和反同步的一种推广。

定义4.2　修正投影同步。对于公式（4.1－1）给出的耦合的分数阶混沌系统，如果存在一个对角矩阵k＝diag（α1，α2，…，αn），使得驱动系统和响应系统的所有轨迹（x（t），y（t）），在任意初始状态（x（0），y（0））下，均满足

则称驱动系统和响应系统达到修正投影同步（Modified Projective Synchronization，MPS），称k为比例因子矩阵。其中，当α1，…，αm＝1且αm＋1，…，αn＝－1，1＜m＜n时，修正投影同步退化成第3章研究的正相同步和反相同步共存的混合同步。(www.xing528.com)

定义4.3　函数投影同步。对于公式（4.1－1）给出的耦合的分数阶混沌系统，如果存在一个连续可微函数α（t），使得驱动系统和响应系统的所有轨迹（x（t），y（t）），在任意初始状态（x（0），y（0））下，均满足

则称驱动系统和响应系统达到函数投影同步（Functional Projective Synchronization，FPS），称α（t）为比例函数。其中，当α（t）为常数时，该函数投影同步退化成投影同步。

定义4.4　修正函数投影同步。对于公式（4.1－1）给出的驱动系统和响应系统，如果存在一个对角函数矩阵k（t）＝diag（α1（t），α2（t），…，αn（t）），αi（t）为连续可微函数，使得驱动系统和响应系统的所有轨迹（x（t），y（t）），在任意初始状态（x（0），y（0））下，均满足

则称驱动系统和响应系统达到修正函数投影同步（Modified Functional Projective Synchronization，MFPS），称k（t）为比例函数矩阵。其中，当α1（t）＝α2（t）＝…＝αn（t）时，该函数投影同步退化成函数投影同步。