混沌同步在图像加密中的升阶和降阶方案

当两个系统的阶次满足m＞n（当然f1≠g）时，即驱动系统的阶数大于响应系统，可以通过将驱动系统的阶数降低为与响应系统的阶数相等，然后讨论降阶后系统与响应系统的同步控制问题。具体的降阶方案为通过计算驱动系统的投影，将驱动系统拆分成两个部分，第一部分为系统在X平面的投影

其中，X∈Rn为子系统1的状态变量，f∶Rm→Rn，第二部分为剩余部分，即为

其中，Xs∈Rs为子系统2的状态变量，qs∈Rs且fs∶Rm→R5，两个子系统的阶数n和s满足n＋s＝m。

为了使驱动系统的阶次与响应系统的阶次达到一致，可以选择驱动系统m个状态中的任意n个状态进行投影，因此，可能的投影个数为＝m！／［n！（m－n）！］。(www.xing528.com)

当两个系统的阶次满足m＜n（当然f1≠g）时，即驱动系统的阶数低于响应系统，我们可以增加驱动系统的阶数，构建一个阶数为n－m的辅助状态向量，使得驱动系统的阶数能够升阶到n，即阶数与响应系统相同。同时，定义n－m个关于已有状态向量的函数，当然，这些函数也可以是常数。据此，定义n－m阶向量X2＝（xm＋1，…，xn）T和n－m阶函数f2（X1）＝（φ1（X1），φ2（X1），…，φn－m（X1））T，这样，可以得到一个新的n阶状态向量X＝（x1，…xm，xm＋1，…，xn）T，驱动系统可以重写为

其中，n阶状态向量n阶函数向量 n－m阶辅助状态向量X2∈Rn－m，n－m阶辅助函数向量f2∶Rm→Rn－m。

通过以上降阶变换或升阶变换，m阶驱动系统（4.3－1）会降阶成n阶系统（4.3－3）或升阶成n阶系统（4.3－4），即驱动系统的阶数已经和响应系统的阶数相同，接下来的工作是如何设计合适的控制器，使得变换后的驱动系统和响应系统实现修正函数投影同步。