混沌同步在图像加密中的应用研究-问题描述与解决

考虑一个包含N个相同节点的复杂网络，网络中每个节点都是n维分数阶混沌系统，其中第i个节点的状态方程为

其中，xi∈Rn为节点的状态变量，f∈Rn为一个连续可微函数，它描述了单个节点的动态性，a＞0为网络总的耦合强度，A＞0为节点的内部耦合矩阵，它决定节点状态变量之间的相互作用方式，C＝（cij）N×N为网络的外部耦合配置矩阵，表示网络的耦合强度和拓扑结构，若节点i到节点j（j≠i）存在连接，则cij＞0，否则cij＝0，对角元素定义为

为了研究两个不同复杂网络之间的外同步，将网络（4.4－1）作为驱动网络，设包括N个相同动态节点的复杂网络

为响应网络。其中，yi∈Rn为响应网络中第个节点的状态向量，g∈Rn为一个连续可微函数，它描述了响应网络中单个节点的动态性，常量a＞0和矩阵A＞0的意义与公式（4.4－1）中相同，D＝（dij）N×N为响应网络的外部耦合配置矩阵，具体定义与矩阵C相同，ui（t）为第i个节点的控制器。这里，外部耦合配置矩阵C和D不必是对称的或不可约简的，对内部耦合矩阵A也没有任何的条件限制。

根据定义4.2中两个混沌系统修正投影同步的定义，下面给出驱动网络（4.4－1）和响应网络（4.4－2）之间修正投影外同步的定义。

定义4.5　复杂网络的修正投影外同步。对于驱动网络（4.4－1）和响应网络（4.4－2），如果存在一个对角矩阵k＝diag（α1，α2，…，αN）和一个控制器u（t）＝（u1（t），u2（t），…，uN（t）），使得两个网络的对应节点满足(https://www.xing528.com)

则称驱动网络（4.4－1）和响应网络（4.4－2）达到修正投影外同步（Modified Projective Outer Synchronization，MPOS），称k为比例因子矩阵。

在修正投影外同步中，同步是发生在两个网络对应节点xi（t）和yi（t）之间，与网络内部节点之间是否同步无关，因此，网络中可以包含孤立的簇或者节点，耦合矩阵也不必是不可约简的。

通过调整常数矩阵k，能够实现各种复杂网络外同步行为，例如α1＝α2＝…αN＝1时，可以实现完全外同步，当α1＝α2＝…＝αN＝－1时，可以实现反相同步。通过选择｜αi｜＞1，i＝1，2，…，N｜或者｜αi｜＜1，i＝1，2，…，N，可以实现驱动网络对响应网络振幅的放大或缩小。

根据定义4.4，误差向量可以表示为ei（t）＝yi（t）－αixi（t），i＝1，2，…，N。由此可以得到驱动网络和响应网络的误差动态网络

这样，驱动网络（4.4－1）和响应网络（4.4－2）之间的修正投影外同步问题转化成误差动态网络（4.4－3）的稳定性问题，即设计合适的控制器u（t）＝（u1（t），u2（t），…，uN（t）），使得极限＝0，i＝1，2，…，N成立。