转动刚体上各点的速度和加速度及其应用

当刚体作定轴转动时，除了转轴上的各点以外，刚体上的点都在垂直于转轴的平面内作圆周运动，圆周的半径R等于该点到轴线的垂直距离，圆心在轴线上，对此，宜采用自然法研究各点的运动。

设刚体由定平面A绕定轴O 转动任一角度φ 到达B 位置，其上任一点由O′运动到M，如图6-4所示。以固定点O′为弧坐标s的原点，按φ角的正向规定弧坐标s的正向，于是当刚体转过φ角时，点M 的弧坐标为

式中：R为点M 到轴心O 的距离。

将式（6-9）对时间t取一阶导数，得

即转动刚体内任一点速度的大小，等于刚体的角速度与该点到轴线的垂直距离的乘积，它的方向沿圆周的切线而指向转动的一方。其速度分布如图6-5所示。

图6-4

图6-5

现在求点M 的加速度。因为点作圆周运动，因此应求切向加速度和法向加速度。

即转动刚体内任一点的切向加速度的大小，等于刚体的角加速度与该点到轴线垂直距离的乘积，它的方向由角加速度的符号决定。当α是正值时，它沿圆周的切线，指向角φ的正向；否则相反。

法向加速度为

式中：ρ为曲率半径，即该点到轴线的垂直距离，ρ=R，因此

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即转动刚体内任一点的法向加速度的大小，等于刚体角速度的平方与该点到轴线垂直距离的乘积，它的方向与速度垂直并指向轴线。如果ω与α同号，角速度的绝对值增加，刚体作加速转动，这时点的切向加速度aτ 与速度v的指向相同；如果ω与α异号，刚体作减速转动，aτ与v的指向相反。这两种情况如图6-6 （a）、（b）所示。

点M 的加速度a的大小可由下式求出

要确定加速度a的方向，只需求出a与半径MO 所成的交角θ即可，如图6-6所示。从直角三角形的关系式可得

由于在每一瞬时，刚体的ω与α都只有一个确定的数值，所以从式（6-11）、式 （6-14）和式（6-15）知：

（1）在同一瞬时，转动刚体上各点的速度v和加速度a的大小均与到转轴的垂直距离成正比。

（2）在同一瞬时，各点速度v的方向垂直于到转轴的距离R，各点加速度a的方向与到转轴的垂直距离R 的夹角θ都相等。加速度分布如图6-7所示。

图6-6

图6-7

【例6-1】 直径为d的轮子作匀速转动，每分钟转数为n。求轮缘上各点的速度和加速度。

解：根据题意，在v=Rω中代入

由于轮子作匀速转动，所以α=0，得