牵连运动转动加速度合成定理-理论力学

设动系O′x′y′z相对于定系Oxyz作定轴转动，角速度矢量为ω，角加速度矢量为α，如图7-14所示，动系坐标轴的三个单位矢量为i′，j′，k′，在定系Oxyz中是变矢量，先分析k′对时间的导数。不失一般性，取定坐标系的z轴为其转轴。设k′的端点M的矢径为rM，则M 点的速度既等于rM对时间的一阶导数，又可用式（6-18）矢积来表示，即

图7-14

矢量式

对式（7-15b）求并与式（7-15a）相等得M 点的绝对速度为

由于动系坐标原点的速度

将式（7-15d）代入式（7-15c）得

同样可求得i′、j′的导数。即

动系的三个单位矢量i′、j′、k′对时间的导数等于各单位矢量端点的速度

如图7-6所示，设Oxyz为定系，O′x′y′z为动系，M 为动点。动系的坐标原点O′在定系中的矢径为rO′，动点M 在定系上的矢径为r，动点M 在动系上的矢径为r′，动坐标系的三个单位矢量为i′、j′、k′，动点M 的绝对速度为

设动系O′x′y′z相对于定系Oxyz作定轴转动（假设绕z轴），角速度矢量为ω，角加速度矢量为α，动点M 的牵连速度为

动点M 的相对速度为

动点M 的牵连加速度为

动点M 的相对加速度为

由速度合成定理

式 （7-16）对时间求导，得动点M 的绝对速度为

即

式中：ac为科氏加速度，是科利澳里在1832年给出的，当动系作平移时，其角速度矢量为ω=0，科氏加速度ac=0，式 （7-17）就转化为式（7-14）。

式 （7-17）为牵连运动为定轴转动时点的加速度合成定理：在任一瞬时，动点的绝对加速度等于在同一瞬时动点相对加速度、牵连加速度和科氏加速度的矢量和。

根据矢积运算法则，ac 的大小为ac=2ωvrsinθ，其中θ为ω 与vr矢量间的最小夹角。ac垂直于ω 和vr组成的平面，指向按右手螺旋法则确定，如图7-15所示。

牵连运动为定轴转动时点的加速度合成定理适合动系作任何运动的情况，此时动系的角速度矢ω可以分解为定系三个轴方向的角速度矢ωx、ωy、ωz 即可。

图7-15

【例7-9】 刨床的急回机构如图7-16 （a）所示。曲柄OA与滑块A用铰链连接，曲柄OA以匀角速度ω绕固定轴O转动，滑块A在摇杆O1B上滑动，并带动摇杆O1B绕固定轴O1 转动。设曲柄OA=r，两个轴间的距离OO1=l，试求当曲柄OA在水平位置时，摇杆O1B的角速度ω1和角加速度α1。

解：根据题意，选滑块A为动点，摇杆O1B为动系，地面为定系。动点A绝对运动为以O 为圆心的圆周运动，动点A相对运动沿摇杆O1B的直线运动，牵连运动为摇杆O1B绕固定轴O1 转动。

（1）求摇杆O1B的角速度ω1。当曲柄OA在水平位置时，动点A的绝对速度va沿圆周的切线铅垂向上，动点A的相对速度vr沿摇杆O1B，牵连运动ve垂直摇杆O1B，作速度的平行四边形，如图7-16 （a）所示。动点A的绝对速度va为

动点A的牵连速度ve为

利用速度的平行四边形的三角关系有

将式（a）和式（b）代入式（c）得摇杆O1B绕固定轴O1 转动的角速度，即

图7-16(www.xing528.com)

转向与曲柄OA的角速度ω相同。

动点A的相对速度vr为

将式（a）代入式（e）得

（2）求摇杆O1B的角加速度α1。由于动系作定轴转动，因此求摇杆O1B的角加速度α1，应选择牵连运动为定轴转动时点的加速度合成定理。即

动点A的绝对加速度aa分为切向加速度和法向加速度，但由于曲柄OA以匀角速度ω绕固定轴O 转动，所以其角加速度α=0，则有

动点A的牵连加速度ae为

动点A的相对加速度ar大小未知，方向沿摇杆O1B是已知的。

动点A的科氏加速度由式（7-18）的矢量形式，大小为

将式（d）和式（f）代入式（k）得

方向按右手螺旋法则来确定，如图7-16 （b）所示。

式 （g）的具体表达式为

由图7-16 （b）所示，将式（m）向O1x′轴投影，得

将式（h）、式（j）和式（k）代入式（n）得摇杆O1B的角加速度α1，即

负号说明原假设方向与实际相反，如图7-16（b）所示，应为逆时针转向。

【例7-10】 求例7-6杆AB的加速度。

解：选杆AB上的A 点为动点，凸轮为动系，地面为定系。应用牵连运动为定轴转动时，点的加速度合成定理，即

下面分析加速度。

动点A的绝对加速度aa：由于动点A的绝对运动是作直线运动，故其加速度的方向是已知的，大小是未知的。

动点A的相对加速度ar：动点A的相对运动是沿凸轮边缘的圆周运动，故其加速度分为切向加速度aτr和法向加速度anr。

由前面例题求得相对速度为

则相对加速度的法向加速度anr 为

相对加速度的切向加速度aτr的方向沿圆轮的切线，指向任意；aτr的大小是未知的。

牵连加速度ae：因为凸轮以匀角速度ω绕O 轴转动，所以牵连加速度为法向加速度ane，切向加速度aτe=0，即

科氏加速度ac：由式（7-18）的矢量形式得其大小为

将式（b）代入式（e）得

方向按右手螺旋法则来确定，如图7-17所示。

式 （a）的具体表达式为

由图7-17所示，将式（g）向ac轴投影，得

图7-17