平面图形上点的加速度分析解析

现在研究平面图形内各点的加速度。根据第一节所述，如图8-21所示平面图形S的运动可分解为两部分：①随同基点A的平动 （牵连运动）；②绕基点A的转动 （相对运动）。于是，平面图形内任一点B的运动也由两个运动合成，它的加速度可以用加速度合成定理求出。因为牵连运动为平动，点B的绝对加速度等于牵连加速度与相对加速度的矢量和。

由于牵连运动为平动，点B的牵连加速度等于基点A 的加速度aA；点B的相对加速度aBA是该点随图形绕基点A 转动的加速度，可分为切向加速度与法向加速度两部分。于是用基点法求点的加速度合成公式为

即平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随图形绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。

式 （8-4）中，为点B 绕基点A 转动的切向加速度，方向与AB垂直，大小为

图8-21

式中：α为平面图形的角加速度。anBA为点B 绕基点A 转动的法向加速度，指向基点A，大小为

式中：ω为平面图形的角速度。

式 （8-4）为平面内的矢量等式，通常可向两个相交的坐标轴投影，得到两个代数方程，用以求解两个未知量。

图8-22

【例8-7】 如图8-22所示，在椭圆规的结构中，曲柄OD以匀角速度ω绕O 轴转动，OD=AD=BD=l。求当φ=60°时，尺AB的角加速度和点A 的加速度。

解：先分析机构各部分的运动。曲柄OD 绕O 轴转动，尺AB作平面运动。取尺AB上的点D 为基点，其加速度为

它的方向沿OD指向O。

点A的加速度为

式中：ωAB为尺AB 的角速度，可用基点法或瞬心法求得

则

解得(www.xing528.com)

于是得

由于aA 为负值，故aA 的实际方向与原假设方向相反。

【例8-8】 车轮沿直线滚动。已知车轮半径为R，中心O的速度为vO，加速度为aO。设车轮与地面接触无相对滑动，求车轮上速度瞬心的加速度。

解：车轮只滚不滑时，其角速度为

车轮的角加速度α等于角速度对时间的一阶导数。

式 （a）对任何瞬时均成立，故可对时间求导，得

因为R是常值，于是得

因为轮心做直线运动，所以它的速度vO 对时间的一阶导数等于这一点的加速度aO，于是

车轮作平面运动，取中心O为基点，并按照式（8-4）求点C的加速度。

它们的方向如图8-23 （b）所示。

图8-23

由于aO 与的大小相等，方向相反，于是有

由此可知，速度瞬心C的加速度不等于零。当车轮在地面上只滚不滑时，速度瞬心C的加速度指向轮心O，如图8-23 （c）所示。

由以上各例可见，用基点法求平面图形上点的加速度的步骤与基点法求点的速度的步骤相同。但由于在公式

中有八个要素，所以必须已知其中六个，问题才是可解的。