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质点系的动能计算方法及瞬时重物速度对系统动能的影响

时间:2023-10-17 理论教育 版权反馈
【摘要】:设有一质点系,在某一位置时,质量为mi的任一质点的速度的大小为vi,则质点系在该位置时的动能为质点系内各质点的动能的算术和,即下面利用式来计算不变质点系——刚体在作各种运动时的动能。这就是说刚体做定轴转动时的动能,等于刚体对于转轴的转动惯量与角速度平方乘积的一半。某瞬时重物A的速度为v,试求系统的动能。

质点系的动能计算方法及瞬时重物速度对系统动能的影响

设有一质点系,取其内任意一质点,质量mi,速度为vi,作用在该质点上的合力为Fi (合力)。根据质点的动能定理的微分形式有

式中:δWi为作用于该质点的力所做的元功。

设质点系有n个质点,对每个质点都可以写出这样一个方程,将n个方程相加,得

此即质点系动能定理的微分形式。即质点系动能的增量,等于作用于质点系全部力所做的元功的和。

对式(12-23)从位置1到位置2积分,得

式中:Ek1和Ek2分别为质点系在某一段运动过程中的位置1和位置2的动能。此即质点系动能定理的积分形式。即质点系在某一段运动过程中,从位置1到位置2动能的改变量,等于作用于质点系的全部力在这段过程中所做的功的和。

必须注意,在式 (12-21)及式 (12-22)中,力的功包括作用于质点系的所有的力的功。如将作用于质点系的力分为主动力与约束力,则包括主动力与约束力的功。由本章第一节可知,在理想约束的条件下,约束反力做功之和等于零,此时方程中只包括主动力的功,这对动能定理应用是非常方便的;如将作用于质点系的力分为内力和外力,则方程中包括所有内力和外力的功。并知内力所做的功之和不一定等于零。因此在应用质点系的动能定理时,应根据具体情况仔细分析所有的作用力,以确定它是否做功。

应用动能定理解题的一般步骤如下:

(1)选研究对象。

(2)由解题需要确定应用动能定理的区间。

(3)受力分析并计算做功的力在选定区间上所做的功,并求其代数和

(4)运动分析并计算在选定区间起点和终点的动能,如用微分形式的动能定理,则应计算在任意位置时的动能。

(5)应用动能定理建立方程并求解未知量,如求加速度,也可以用动能定理的微分形式。

【例12-3】 重为G的车厢沿倾角为α的轨道自溜运行,如图12-17所示。坡道长为l,车厢运行时所受的阻力与轨道的法向反力成正比,即F=fFN,f为车厢运动阻力系数。试求车厢自A 处由静止溜到B 处的速度及停止时沿水平轨道所滑行的距离s。

解:取车厢为研究对象 (可视为质点),受力分析如图12-17所示,车厢受有重力G、法向反力FN 及阻力F的作用,首先计算力的功。在AB路程

图12-17

在BC路程中

为求速度vB,在AB路程中应用质点的动能定理有

为求滑行距离s,在BC路程中应用质点的动能定理有

图12-18

【例12-4】 质量为m 的质点,自高h处自由下落,落到下面有弹簧支持的板上,如图12-18所示。设板和弹簧的质量不计,弹簧刚度系数为k,求弹簧的最大压缩量。

解:取质点m为研究对象,受力分析知质点从位置Ⅰ到位置Ⅱ只有重力作用,其所做的功为W12=mgh,质点从位置Ⅱ到位置Ⅲ受重力和弹性力的作用,其所做的功为

式中:δmax为弹簧的最大压缩量。

首先在位置Ⅰ到位置Ⅱ的过程中应用质点的动能定理,有

再在位置Ⅱ到位置Ⅲ的过程中应用质点的动能定理,有

也可把上述两段过程合在一起考虑,即在位置Ⅰ到位置Ⅲ的过程中应用质点的动能定理,有

由此所得的δmax与前面相同,这一点也可由式 (a)、式 (b)、式 (d)和式 (c)看出。(www.xing528.com)

由以上解题过程可以看出,应用动能定理的积分形式解题,其解题过程与应用动能定理的区间划分有关,随着区间划分的不同,其解题过程将不同,但其结果是一样的。恰当地划分区间,可使解题过程大为简化。

【例12-5】 卷扬机如图12-19所示。鼓轮在常力偶M 的作用下将圆柱沿斜坡上拉。已知鼓轮的半径为R1,质量为m1,质量分布在轮缘上;圆柱的半径为R2,质量为m2,质量均匀分布。设斜坡的倾角为θ,圆柱只滚不滑。系统从静止开始运动,求圆柱中心C经过路程s的速度。

图12-19

解:圆柱和鼓轮一起组成质点系。作用于该质点系的外力有重力m1g和m2g,外力偶M,水平轴支反力FOx和FOy,斜面对圆柱的作用力FN和静摩擦力Fs

首先计算力的功。因圆柱只滚不滑,铰支座O点不动,故此系统的约束为理想约束,且内力功为零,只有主动力M 和圆柱的重力m2g做功,即

其次计算系统的动能。系统开始时静止,Ek1=0。当圆柱中心C经过路程s时,系统的动能为

式中:J1 和JC 分别为鼓轮对于中心轴O,圆柱对于过质心C的轴的转动惯量,即

ω1 和ω2 分别为鼓轮和圆柱的角速度,vC 为圆柱中心C的速度,由运动学

在所研究的过程中应用质点系动能定理有

【例12-6】 在绞车的主动轴上Ⅰ作用一恒力偶M 以提升重物,如图12-20所示。已知重物的质量为m;主动轴Ⅰ和从动轴Ⅱ连同安装在轴上的齿轮等附件的转动惯量分别为J1 和J2,传动比鼓轮的半径为R。轴承的摩擦和吊索的质量均不计。绞车开始静止,求当重物上升的距离为h时的速度和加速度。

图12-20

解:选取绞车和重物为研究的质点系。把重物的静止位置和升高了h的位置作为质点系得始点和终点,在这两瞬时的动能分别为

式中:ω1 和ω2 分别为轴Ⅰ和轴Ⅱ的角速度;v为当重物上升的距离为h时的速度。

由运动学知

由已知条件可知,系统约束为理想约束,质点系内力的功的和为零,只有主动力偶M 和重物的重力mg做功。在研究过程中主动力的功为

由质点系动能定理有

消去两边的v,即得加速度

也可以由动能定理的微分形式来求加速度a。

【例12-7】 吊有重物A的柔绳绕过滑轮连于杆BD 端滑块B 上,带动杆BD运动,如图12-21 (a)所示。设重物A重P,均质杆BD长为l,重为Q,P>2Q,其余杆件自重及各处摩擦均不计。系统开始静止,且杆在水平位置,求当杆与水平面成φ=30°时重物A的速度。

解:取整个系统为研究对象,由已知分析可知此系统的约束为理想约束,做功的主动力只有重物A的重力P和BD 杆的重力Q。当杆由水平位置运动到与水平面成φ时,主动力所做的功为

图12-21

系统开始时静止,Ek1=0,重物A作平动,杆BD作平面运动。设杆与水平面成角φ时,重物的速度为v,杆BD的角速度为ω,则由瞬心法知C为杆BD 的速度瞬心,如图12-21 (b)所示。该位置系统的动能为

由质点系动能定理有

将φ=30°代入,得

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