质点系动能定理的应用及计算方法

设有一质点系，取其内任意一质点，质量mi，速度为vi，作用在该质点上的合力为Fi （合力）。根据质点的动能定理的微分形式有

式中：δWi为作用于该质点的力所做的元功。

设质点系有n个质点，对每个质点都可以写出这样一个方程，将n个方程相加，得

此即质点系动能定理的微分形式。即质点系动能的增量，等于作用于质点系全部力所做的元功的和。

对式（12-23）从位置1到位置2积分，得

式中：Ek1和Ek2分别为质点系在某一段运动过程中的位置1和位置2的动能。此即质点系动能定理的积分形式。即质点系在某一段运动过程中，从位置1到位置2动能的改变量，等于作用于质点系的全部力在这段过程中所做的功的和。

必须注意，在式 （12-21）及式 （12-22）中，力的功包括作用于质点系的所有的力的功。如将作用于质点系的力分为主动力与约束力，则包括主动力与约束力的功。由本章第一节可知，在理想约束的条件下，约束反力做功之和等于零，此时方程中只包括主动力的功，这对动能定理应用是非常方便的；如将作用于质点系的力分为内力和外力，则方程中包括所有内力和外力的功。并知内力所做的功之和不一定等于零。因此在应用质点系的动能定理时，应根据具体情况仔细分析所有的作用力，以确定它是否做功。

应用动能定理解题的一般步骤如下：

（1）选研究对象。

（2）由解题需要确定应用动能定理的区间。

（3）受力分析并计算做功的力在选定区间上所做的功，并求其代数和。

（4）运动分析并计算在选定区间起点和终点的动能，如用微分形式的动能定理，则应计算在任意位置时的动能。

（5）应用动能定理建立方程并求解未知量，如求加速度，也可以用动能定理的微分形式。

【例12-3】 重为G的车厢沿倾角为α的轨道自溜运行，如图12-17所示。坡道长为l，车厢运行时所受的阻力与轨道的法向反力成正比，即F=fFN，f为车厢运动阻力系数。试求车厢自A 处由静止溜到B 处的速度及停止时沿水平轨道所滑行的距离s。

解：取车厢为研究对象 （可视为质点），受力分析如图12-17所示，车厢受有重力G、法向反力FN 及阻力F的作用，首先计算力的功。在AB路程中

图12-17

在BC路程中

为求速度vB，在AB路程中应用质点的动能定理有

为求滑行距离s，在BC路程中应用质点的动能定理有

图12-18

【例12-4】 质量为m 的质点，自高h处自由下落，落到下面有弹簧支持的板上，如图12-18所示。设板和弹簧的质量不计，弹簧刚度系数为k，求弹簧的最大压缩量。

解：取质点m为研究对象，受力分析知质点从位置Ⅰ到位置Ⅱ只有重力作用，其所做的功为W12=mgh，质点从位置Ⅱ到位置Ⅲ受重力和弹性力的作用，其所做的功为

式中：δmax为弹簧的最大压缩量。

首先在位置Ⅰ到位置Ⅱ的过程中应用质点的动能定理，有

再在位置Ⅱ到位置Ⅲ的过程中应用质点的动能定理，有

也可把上述两段过程合在一起考虑，即在位置Ⅰ到位置Ⅲ的过程中应用质点的动能定理，有

由此所得的δmax与前面相同，这一点也可由式 （a）、式 （b）、式 （d）和式 （c）看出。(www.xing528.com)

由以上解题过程可以看出，应用动能定理的积分形式解题，其解题过程与应用动能定理的区间划分有关，随着区间划分的不同，其解题过程将不同，但其结果是一样的。恰当地划分区间，可使解题过程大为简化。

【例12-5】 卷扬机如图12-19所示。鼓轮在常力偶M 的作用下将圆柱沿斜坡上拉。已知鼓轮的半径为R1，质量为m1，质量分布在轮缘上；圆柱的半径为R2，质量为m2，质量均匀分布。设斜坡的倾角为θ，圆柱只滚不滑。系统从静止开始运动，求圆柱中心C经过路程s的速度。

图12-19

解：圆柱和鼓轮一起组成质点系。作用于该质点系的外力有重力m1g和m2g，外力偶M，水平轴支反力FOx和FOy，斜面对圆柱的作用力FN和静摩擦力Fs。

首先计算力的功。因圆柱只滚不滑，铰支座O点不动，故此系统的约束为理想约束，且内力功为零，只有主动力M 和圆柱的重力m2g做功，即

其次计算系统的动能。系统开始时静止，Ek1=0。当圆柱中心C经过路程s时，系统的动能为

式中：J1 和JC 分别为鼓轮对于中心轴O，圆柱对于过质心C的轴的转动惯量，即

ω1 和ω2 分别为鼓轮和圆柱的角速度，vC 为圆柱中心C的速度，由运动学有

在所研究的过程中应用质点系动能定理有

【例12-6】 在绞车的主动轴上Ⅰ作用一恒力偶M 以提升重物，如图12-20所示。已知重物的质量为m；主动轴Ⅰ和从动轴Ⅱ连同安装在轴上的齿轮等附件的转动惯量分别为J1 和J2，传动比鼓轮的半径为R。轴承的摩擦和吊索的质量均不计。绞车开始静止，求当重物上升的距离为h时的速度和加速度。

图12-20

解：选取绞车和重物为研究的质点系。把重物的静止位置和升高了h的位置作为质点系得始点和终点，在这两瞬时的动能分别为

式中：ω1 和ω2 分别为轴Ⅰ和轴Ⅱ的角速度；v为当重物上升的距离为h时的速度。

由运动学知

由已知条件可知，系统约束为理想约束，质点系内力的功的和为零，只有主动力偶M 和重物的重力mg做功。在研究过程中主动力的功为

由质点系动能定理有

消去两边的v，即得加速度

也可以由动能定理的微分形式来求加速度a。

【例12-7】 吊有重物A的柔绳绕过滑轮连于杆BD 端滑块B 上，带动杆BD运动，如图12-21 （a）所示。设重物A重P，均质杆BD长为l，重为Q，P＞2Q，其余杆件自重及各处摩擦均不计。系统开始静止，且杆在水平位置，求当杆与水平面成φ=30°时重物A的速度。

解：取整个系统为研究对象，由已知分析可知此系统的约束为理想约束，做功的主动力只有重物A的重力P和BD 杆的重力Q。当杆由水平位置运动到与水平面成φ时，主动力所做的功为

图12-21

系统开始时静止，Ek1=0，重物A作平动，杆BD作平面运动。设杆与水平面成角φ时，重物的速度为v，杆BD的角速度为ω，则由瞬心法知C为杆BD 的速度瞬心，如图12-21 （b）所示。该位置系统的动能为

由质点系动能定理有

将φ=30°代入，得