几何分布的性质及在可靠性中的应用-专业解析与案例精选

1.几何分布及其性质

（1）分布律、分布函数

如果试验E 结果只有两个：A 及A，且 P ( A)= p，做重复独立的贝努利试验，将试验进行到事件A 发生1 次为止，X 表示所需要的试验次数，则随机变量X 可取1，…，n，其分布律为P｛ X = k｝ =p(1 -p) k -1，k=1,2, … , n,，随机变量X 称为服从以p 为参数的几何分布，记为X ~G （ p ）。

显然，其分布律满足非负性和规范性。几何分布的分布律随自然数k 增大而单调递减，如果将离散点连续化，也是单调递减的凹弧。容易得到X 的分布函数为 F （ x ）=P ｛X ≤ x｝为凸性阶梯形单调递增的折线。

（2）可靠度函数、失效率

（3）无记忆性

几何分布最常见的一个场合是离散寿命分布。几何分布具有“无记忆性”，即对于任意自然数s，t＞0，由等比级数的性质，容易证明有 P{ X ＞ s +t |X ＞ s} =P{ X ＞ t}。

如果用X 表示某一元件的离散寿命，那么上式表明，在已知元件已使用了s 小时的条件下，它还能再使用至少t 小时的概率，与从开始使用时算起它至少能使用t 小时的概率相等。这就是说，元件对它已使用过s 小时没有记忆。当然，几何分布描述的是无老化时的寿命分布，但绝对“无老化”是不可能的，因而只是一种近似。对一些寿命长的元件，在初期阶段老化现象很小，在这一阶段，几何分布比较确切地描述了其离散寿命分布情况。

（4）期望与方差

2.由几何分布到负二项分布，由负二项分布到巴斯卡分布

（1）几何分布是负二项分布的特例(www.xing528.com)

注2：几何分布的这种可加性完全是负二项分布关于形状参数 r 具有可加性的具体体现。因为几何分布是负二项分布的特例，或者说几何分布族是负二项分布族的子族。几何分布关于参数p 没有可加性；几个独立几何分布的最小分布（即串联）仍是几何分布，且参数为各参数之和，即几何分布具有“串联可加性”。

（2）由负二项分布到巴斯卡分布

有趣的是，由负二项分布的重要性质是关于形状参数r 具有可加性，可得到巴斯卡分布的重要性质，即为如下结论:

以下各条可依次推证，即（1 ） ⇒（ 2） ⇒（ 3） ⇒（ 4），并且（ 4） ⇒（ 3）。

（1）X 与Y 相互独立，且X ~NB （r1 ,p ）,Y ~NB （r2 ,p ）；

（2）X -r1 ~PA （r1 ,p），Y -r2 ~PA （r2 ,p），且相互独立；

（3）X + Y - （r1 +r2）~PA （r1 +r2 ,p）；

（4）X +Y ~NB (r1 +r2 , p)

注：如果取 r1 = r2 = 1，就得到几何分布与巴斯卡分布的关系。