概率统计中积分应用案例精选

导读：本专题涉及定积分、重积分在概率统计中的应用，突出了重积分在研究多维连续型随机变量中的作用，教学实践中存在弱化或忽视现象，但多维随机变量在概率统计的研究和应用中往往扮演着更重要的角色。本专题也会涉及随机变量和的分布、卷积公式等重要内容。

级数与积分分别是处理离散量与连续量的数学工具，两者有完全类似的定义、性质、收敛性判断、应用等等，甚至有些级数与积分可以互相转化，从而连续量与离散量之间的转化就更加方便。正确理解和灵活应用级数与积分之间的这种“对等关系”，在概率统计课程的学习中具有重要意义，为进一步深入学习其他相关课程（如可靠性理论、随机过程等）打下基础。本专题主要突出积分（包括定积分、二重积分等）处理连续随机变量的作用与应用，帮助读者理清一些难点问题和重点问题。所涉及的积分多属分段函数以及含参变量的积分，需要有分段考虑的基本能力。

1．一维连续型随机变量及其分布

这种形式恰与物理学中线密度的定义相类似，这也正是为什么称 f （ x ）为概率密度的原因。反过来，任一满足以上（1）、（2）两个性质的函数 f （ x ），一定可以作为某个连续型随机变量的密度函数。分布函数与概率密度函数的关系就是原函数与导函数的关系，再对它们应用微积分中的重要定理和思想、方法，就是概率微元法，通过概率微元法会得到概率中的一些重要结论。

前面我们曾指出，对连续型随机变量X 而言，它取任一特定值a 的概率为零，即P ｛X = a｝ = 0，事实上，令Δx ＞ 0，设X 的分布函数为 F （ x ），则由｛X =a｝ ⊂{a-Δx ＜ X ≤a}，

得0 ≤P ｛X = a｝ ≤P ｛a-Δx＜ X ≤ a｝ =F （ a ）-F （a-Δx ）。

当Δ x→ 0时，由夹逼定理得 P ｛X = a｝ = 0，

由此很容易推导出 P ｛a ≤X＜ b｝ =P ｛a＜ X ≤ b｝ =P ｛a ≤ X ≤ b｝ =P ｛a＜ X＜ b ｝。

即在计算连续型随机变量落在某区间上的概率时，可不必区分该区间端点的情况。此外还要说明的是，事件｛X = a｝“几乎不可能发生”，但并不保证绝不会发生，它是“零概率事件”而不是不可能事件。

作为连续型随机变量的典型代表，以正态分布为例说明积分在处理连续型随机变量问题中的重要作用。

例1 若连续型随机变量X 的概率密度为

完全类似，应用积分换元法，可知正态分布的期望与方差分别是参数μ 与2σ 。

2．二维连续型随机变量及其联合分布

（2）G 为不等式0＜ x＜1 ，0＜ y＜1 所确定的区域，所以

3．二维连续型随机变量的边缘分布(www.xing528.com)

例5 设随机变量X 和Y 具有联合概率密度

例6 求二维正态随机变量的边缘概率密度。

我们看到二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布，并且都不依赖于ρ ，即对于给定的 1μ ， 2μ ， 1σ ， 2σ ，不同的ρ 对应不同的二维正态分布，它们的边缘分布却都是一样的。这一事实表明，对于连续型随机变量，单由关于X 和关于Y 的边缘分布，一般来说是不能确定X 和Y 的联合分布。

4．二维连续型随机变量的独立性

5．二维连续型随机变量函数的分布

设（X ,Y ）为二维连续型随机变量，若其函数 Z （X ,Y ）仍然是连续型随机变量，则存在密度函数 f Z （ z ）。求密度函数 f Z（ z ）的一般方法如下：

首先求出 Z （X ,Y ）的分布函数

下面主要讨论两个随机变量的和Z = X +Y 的分布。

这里积分区域G：x + y ≤z 是直线x + y =z 左下方的半平面，化成累次积分得

例7 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，它们都服从 N（ 0,）1分布，求Z = X +Y 的概率分布密度。

解 由题设知X ，Y 的分布密度分别为

由卷积公式知

更一般地，可以证明有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍服从正态分布。

6．一次积分改写为二次积分，再交换积分次序