正态总体的均值与方差的假设检验：设立原假设与备择假设的方法

很多教材都没有明确说明，有的教材上叙述为“通常把希望得到的陈述视为备择假设”，此话并没有错。但是，不少人理解为，设立备择假设要取决于检测者的希望或态度，甚至有不少人误认为备择假设想怎么设就怎么设，依赖个人的主观臆见。这样，备择假设的设立，就会因检测者的希望或态度不同，可以是右边假设，可以是左边假设，可能会得到互相矛盾的判断。

事实上，“通常把希望得到的陈述视为备择假设”的正确含义就是，应基于问题本身的客观样本资料，将希望得到支持的假设设立为备择假设，而不是提问者的态度，也绝非个人的主观臆见。

在显著性假设检验中，根据Neyman-Pearson 原则，构造拒绝域时要求控制犯第一类错误（即弃真错误）的概率不超过显著性水平α （通常取α 为0.05），当原假设成立时，样本观察值落入拒绝域是一个小概率事件。根据实际推断原理，小概率事件仅在一次观察中几乎是不发生的，因此，如果某次观察中发现样本值落入了拒绝域，我们有理由认为原假设不成立，但也没有充分的理由认为备择假设成立，故只能拒绝原假设。反过来，如果某次观察中发现样本值没有落入了拒绝域，则说明根据目前的样本资料，我们没有充分的理由拒绝原假设，只能接受原假设。以下通过实例来说明。

1.备择假设设立为左边检验或右边检验，所做判断并无矛盾

例1 某厂生产的一种产品要求使用寿命不得低于1000 h。现在从一批产品中随机抽取25 件，测得其寿命的平均值为950 h。已知该产品使用寿命服从标准差为σ=100 h 的正态分布。试在显著性水平α =0.05下判断这批产品是否合格。

解1 设原假设H 0:μ ≥1000；备择假设H 0:μ ＜1000(左边检验)。

某些假设检验，设问本身就具有明显的倾向性，这时，我们按要求做就行了。即便如此，也不能认为在解决实际问题时可按检验者的态度或希望来确定什么是原假设，什么是备择假设。如在上例中若设问为“是否有充分的理由认为该批产品的平均寿命大于1000h”。这时，备择假设应为H 1:μ ＞1000（该批产品合格）。这样提问，从理论上讲无可非议，但没有什么实际意义，因为这时我们若得出产品不合格的判断，也不能肯定该产品不合格，只能说我们没有明确的理由判定该产品合格。这样的判断结果对实际的产品检验基本不起作用。有人认为把备择假设设为产品合格是为了保证质量，此时若还能判定产品合格，说明该产品质量非常好。对此，我认为与其把原假设与备择假设互换，不如提高检测质量的标准，如把对产品的使用寿命的要求由大于1000h，提高到大于1100h。事实上，“是否有充分理由认为该批产品合格”?这句问话本身就不合适。

法官判案时，怎样判决应由法律和证据确定，而不是法官的立场。同理，我们在对实际问题做假设检验时，什么作为原假设，什么作为备择假设应由问题本身确定，而不是由某人的态度或希望确定。通常是“把不能轻易否定的作为原假设”或“把有充分依据才能肯定的作为备择假设”（二者等价）。在面对具体问题时，怎样设，需要一定的常识。如检验产品是否合格，若要判产品不合格，应有足够的证据，否则只能认为该产品是合格的，所以，产品合格、机器正常工作等都应设为原假设。又如，某人发明了一个新工艺，要检测新工艺是否比旧工艺明显优越。因为改变工艺要消耗一定的人力、物力、时间等。我们不能轻易地认为新工艺比旧工艺优越，所以新工艺比旧工艺优越就应是备择假设。

我们做的是显著性假设检验。对于那些不含有“不能轻易否定”或“接受它必须有充分依据”这些要素的检验，或者说一个事件和它的逆事件，哪个作为原假设，哪个作为备择假设都可以或都不可以，也就是应由某些人的态度或希望来确定的检验，就不能用这种方法来检测。比如要抽样检测人们对某项政策的支持率是否超过70%。若原假设设为超过70%，则反对者不满意；反之，支持者不满意。所以这项政策就不能用我们所说的方法检测，应改用其他方法，如直接利用样本观测值做出判断。检测某种产品是否是优质产品，也不具备显著性这个特点，也不能用此法鉴定。(www.xing528.com)

以上所说原假设与备择假设不能互换，不取决于检测者的态度或希望，是以符合实际和在教学中不至于引起混乱的角度做出的结论，不可能从理论上加以证明。

2.备择假设设立为左边检验或右边检验，所做判断除取等号外互相矛盾

例2 某种元件的寿命X（以小时记）服从正态分布N (μ ,σ 2)，其中μ ,σ 2均未知。现在从一批元件中随机地抽取16 件，测得其寿命的平均值为241.5，样本标准差为98.726。在显著性水平α =0.05下，是否有充分的理由认为这批元件的平均寿命大于225 小时?

解1 设原假设H 0:μ ≥225；备择假设H 1:μ ＜225。

小结 对于该问题言，解1 将备择假设设立为左边检验时认为这批元件的平均寿命μ ≥225，解2 将备择假设设立为是右边检验时认为这批元件的平均寿命μ ≤225，所做判断除取等号外互相矛盾！那么，哪个备择假设设立较合理，其依据是什么? 如果都不合理，说明是否将备择假设设立为双边检验可能合理。解3 将备择假设设立为双边检验时认为这批元件的平均寿命μ=225。

该问题的检验结果表明，根据目前的样本资料，在显著水平α=0.05下，我们既没有充分的理由拒绝μ≤225的假设,也没有充分的理由拒绝μ ≥225的假设，也就是说，既没有充分的理由认为元件的平均寿命μ ＞225，也没有充分的理由认为元件的平均寿命μ ＜225。

可见，在问题客观数据给定的情况下，也应该依据问题中给定的客观数据进行设问。在该题目给定的客观数据和设问下，解2 将备择假设设立为H 1:μ ＞225（右边检验）是比较合理的，因样本均值x=241.5 ＞225，所做判断认为这批元件的平均寿命μ ≤225。检验结果表明，尽管目前抽取到的16 个元件的平均寿命大于225 小时， 但在显著水平α =0.05下还没有充分的理由可认为该种元件（总体）的平均寿命大于225 小时。

上述讨论告诉我们，对于有关参数的假设检验应根据样本资料来确定原假设和备择假设，是将题目给定的客观样本信息所支持的假设，设为备择假设，并非依据题目的设问形式。首先对样本数据经过一定的整理以后形成初步的认识，再借鉴假设检验理论做进一步的分析。当检验结果为拒绝原假设，即接受备择假设时，是有充分的理由的；反之，当目前的样本资料还没有充分的理由拒绝原假设时，则只能做出接受原假设的判断。因此，我们应根据样本资料将希望得到支持的看法作为备择假设，以保证假设检验结果的有效性。希望有兴趣者举一个原假设与备择假设可以互换，又具有实际背景，符合实际情况的例子。