概率统计：刻画随机事件相依关系

基于条件概率的概念，能定性或定量地给出两随机事件相依性的不同刻画。

1.任意两随机事件的相依性是互相的

条件概率揭示了任意两随机事件的相依关系，且这任意两事件没有先后关系或因果关系是成对出现的，其中的任何一个事件都可作为条件，这是对相依性的朴素认识。

2.由概率乘法公式刻画任意两随机事件之间的相依关系

设A、B 是试验E 的任意两事件，则 P( AB) =P( A | B) P( B) =P( B | A) P( A)。

3.由贝叶斯公式刻画任意两随机事件之间的相依关系

贝叶斯公式的另一种表达形式是：

4.由标准似然度函数刻画任意两随机事件之间的相依关系

（4）任意两随机事件或负相依或不相依或正相依，三者必具其一且只具其一。

性质1 分别从条件概率、乘法公式与标准似然度的角度刻画了两随机事件负相依、不相依、正相依的等价条件。

性质2 设A、B 是随机试验E 的任意两事件，则有：

5.由相依度函数刻画任意两随机事件之间的相依关系

为A、B 的相依度。

由相依度的定义，若给定 P ( A) 、 P ( B) ，则对于在区间［m ,M ］中取值的 P ( AB )，存在闭区间[ -1,1]中的唯一的相依度 ρ( A, B)与之对应，反之亦然。从而，给定 P ( A) 、 P ( B )，P ( AB )与A、B 的相依度 ρ( A, B)之间存在一一映射关系。

当m ≤P ( AB )＜P ( A) P ( B)时, - 1≤ρ( A, B) ＜ 0，称为负相依；

当 P ( AB )=P ( A) P ( B)时, ρ( A, B) = 0，称为不相依，即独立；(www.xing528.com)

当 P ( A) P ( B )＜P ( AB )≤M 时, 0＜ρ( A, B) ≤ 1，称为正相依；

特别地，当 P ( AB )= m时，ρ ( A, B)=-1 ，称为完全负相依；当 P ( AB )= M时，ρ ( A, B) = 1，称为完全正相依。

显然，相依度也是集合A 与B 的二元集函数。可以验证，相依度有以下较好性质：

性质3 设A、 B 是试验E 的任意两事件，则有：

6.由相关系数刻画任意两随机事件之间的特殊的相依关系——线性相关

任意两随机事件之间的相依关系有多种类型，如线性关系、非线性关系等其他函数关系。相关系数只是刻画了任意两随机事件之间线性依赖关系的强弱。

（6） 事件A、 B 独立的充要条件是A、 B 不相关（即相关系数γ=0 ）。

7.三种度量的区别与联系

共性：都是二元集函数，都具有对称性，都刻画了两事件之间的相依关系及相依程度的强弱；同一对事件，可以同时从不同的角度来刻画它们之间的相依关系；

若给定 P ( )A 、 P ( B) ，则 P ( AB) 的值在区间[ m, M] 中变化，且 P ( AB) 的值与这3 种度量都存在一一映射关系，从而这3 种度量之间也存在一一映射关系；

个性：标准似然度在定量方面不足；相依度既定性又定量；相关系数只是一种线性依赖关系的相依度。

给出实例，说明两事件的标准似然度、相依度、相关系数的具体求解与关系。

以上，基于两个规定与条件概率的弱定义，既扩大了条件概率、独立性概念的适用范围，又从不同角度深入刻画了任意两随机事件之间的相依关系。

下文，进一步说明，在数学表达上的对称性与统一性以及其进一步研究的必要性和重要性。