函数零点个数：考研数学分析真题选编

在这一段中，我们将利用导数来研究函数f（x）零点（或方程f（x）=0的根）的个数.至于函数的单调性、极值、凹凸性、拐点及函数的作图等内容在此不再赘述，这是因为同学们对这些内容并不感到困难，已无需多说.另外，利用凸函数的性质证明不等式将在第八讲中涉及.

证明函数f（x）的零点的存在性常用的方法：1）若f（x）在[a，b]上或（a，b）内连续，应用连续函数的介值定理；2）作出f（x）的一个原函数F（x），对F（x）应用罗尔定理.

证明函数f（x）的零点的唯一性常用的方法：1）利用罗尔定理，采用反证法证明f（x）至多只有一个零点；2）利用单调性证明f（x）至多只有一个零点.

这些内容已散见于前面，在此我们不把它们作为重点.而这里着重要讨论的是函数f（x）零点个数问题.一般步骤如下：

（1）求出f（x）的驻点和f′（x）不存在的点，用这些点划分f（x）的定义域；

（2）求出f（x）的单调区间和极值（最值）；

（3）分析极值（最值）与x轴的相对位置，得出零点的个数.

例3.56 设a>0，问方程lnx=ax有几个实根？

解 令f（x）=lnx-ax，x∈（0，+∞），则

由此可知，f（x）是上凸函数，且是唯一的极大值点，当然也是最大值点.最大值为.

由于，，所以

当-lna-1<0，即时，f（x）无零点；

当-lna-1=0，即时，f（x）有唯一零点；

当-lna-1>0，即时，f（x）有两个零点.

类题　当a>0，b>0时，求下列方程有两个不同正实根的条件.

提示　（1）取对数，并令f（x）=bx-2lnx-lna，x>0.

因为，，所以要使方程有两个正实根，f（x）必须在（0，+∞）内有负的最小值.

由可知，为唯一驻点，而，所以为极小值点，也是最小值点.最小值为

让，即就是原方程有两个不同正实根的条件.

（2）原方程有两个不同正实根的条件为：(www.xing528.com)

说明：不取对数不易解出驻点.

例3.57　设当x>0时，方程有且仅有一个根，求k的取值范围　（数学Ⅲ）.

解　令，x∈（0，+∞），则

当k≤0时，f′（x）<0，f（x）严格单调递减，又注意到

所以，当k≤0时，f（x）=0在（0，+∞）内仅有一个根；

当k>0时，f（x）在（0，+∞）上是下凸函数，且是唯一极小值点，也是最小值点.而

所以，当最小值为零，即

时，f（x）=0有且仅有一个根.由上式解得当时，f（x）=0或无解或有两个解.

综上知，当k≤0及时，方程有且仅有一个实根.

类题 证明方程在（0，+∞）内有且仅有两个实根 （数学Ⅰ）.

例3.58 讨论曲线y=4lnx+k与y=4x+ln⁴x的交点个数 （数学Ⅱ）.

解 令f（x）=ln⁴x-4lnx+4x-k，则

令f′（x）=0，得x=1为唯一驻点，而由

知，x=1为极小值点，当然也是最小值点，且最小值f（1）=4-k.

由于，，所以

当4-k>0即k<4时，f（x）=0无根；

当4-k=0即k=4时，f（x）=0有一个根；

当4-k<0即k>4时，当x从0变到1时，f（x）由正变负，f（x）=0有一个根；当x从1变到+∞时，f（x）由负变正，f（x）=0有一个根.故当k>4时，f（x）=0有两个根.