考研数学：第二型曲面积分与对坐标的曲面积分

第二型曲面积分的背景是计算流速场V=（P，Q，R）在单位时间内向着指定侧的流量（通量），即

因此它与积分曲面的侧有关.

（1）计算方法

基本的计算方法是化成二重积分.

1）参数法

若曲面Σ由单值函数z=z（x，y）给出，Σ在xOy平面上的投影区域为D_xy，则

正负号的取法是：曲面的法向量与z轴正向夹角为锐角时取正号，为钝角时取负号.

若曲面Σ方程是由单值函数y=y（x，z）或x=x（y，z）给出，其计算公式可类似地给出，符号取法的规则如上.

若曲面Σ是由参数方程给出：

Σ：x=x（u，v），　y=y（u，v），　z=z（u，v），　（u，v）∈D，

且行列式

不同时为零，则(www.xing528.com)

其中正负号的取法是：若向量（A，B，C）与Σ的法向量（预先指定的）一致时，取正号，否则取负号.

2）用高斯公式化成三重积分.

3）用斯托克斯公式化为第二型曲线积分.

这种方法并不常用，原因是从第二型曲面积分到第二型曲线积分时，第二型曲线积分的被积函数不易求出.

对称性定理　设分片光滑的曲面Σ关于xOy平面对称，且侧相反，则

其中Σ₁：z=z（x，y）≥0.

类似地可给出关于其他两个平面的对称性定理.

（2）第二型曲面积分的应用

1）求空间封闭曲面Σ所围的立体的体积：

2）求通量（流量）

流速场V=（P，Q，R）在单位时间内向着曲面Σ指定侧的流量：