数学世界中的悬而未决问题：乘数为9的神奇现象

1.进位规律

乘数为9的进位规律是超循环几进几.例如,超进5,超进8.在实际运算时,可以用比较被乘数后位相邻两数的大小来确定进几(如果后两位数相同,还要继续往后看,直到出现异数为止).如果后位相邻两位数的前位小于后位,则前位是几就进几.如果前位大于后位,则进位数是前位数减1.

2.确定积的个位数

任何一个一位数乘以9,其积的个位数是它的补数(两数之和为10,它们互为补数).所以9乘以一个多位数,积的个位数的确定,可按本位数的补数加后位数的进位数进行.

例1 计算874632×9

解:被乘数的前两位数是87的前位数8大于后位数7,所以积的首位数是7,8的补数是2,8后是74,7大于4进6,所以8的本位积是8.7的补数是3,7的后两位是46,4小于6进4,所以7的本位积是7.4的补数是6,4的后两位数是63,6大于3进5,所以4的本位积是1.6的补数是4,6的后两位数是32,3大于2进2,所以6的本位积是6.3的补数是7,所以3的后位数是2进1,3的本位积是8.2的补数是8,2是被乘数的末位数,所以积的末位数是8.

例2 计算444726×9

练习

1.72139×9; 82647×9; 75193×9; 54193×9;

62389×9; 74236×9; 85913×9; 59131×9;

77213×9; 21394×9.

2.638139×9; 497782×9; 591997×9; 716753×9;

841132×9; 675418×9; 779155×9; 883923×9;

573988×9; 171192×9.

3.8329127×9; 5926785×9; 846729×3; 5141007×9;(www.xing528.com)

1814137×9; 7991326×9; 5436275×9; 1821653×9;

6633714×9; 4921537×9.

4.38142967×9; 74191423×9; 76695327×9; 76485938×9;

45241967×9; 33669248×9; 77139287×9; 89170264×9;

66413274×9; 89993726×9.

【阅读与欣赏】

多完全数

我们知道,把一个自然数所有的除数(本身不包括在内)加起来,如果正好等于这个自然数自己,那么我们就称之为“完全数”.

“完全数”这个名称具有神秘的色彩,意思是“完美的数”.如古代意大利人就把6看作属于爱神维纳斯的数,它象征着美满的婚姻.

如果一个正整数全部因子(包括它本身)之和等于这个数的某个整数倍,我们就称这个数为“多完全数”.

如120的全部因子为:1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,30,40,60,120.这些因子之和是360,360正好是120的3倍.所以,120是一个“多完全数”,而倍数3是这个“多完全数”的“指标”.

“多完全数”规律性比完全数差,难以找到一定的公式,只能用计算机来寻找较大的多完全数.

过去,人们竭尽全力只找到大约700个“多完全数”,其中最大的具有“指标”8.最近美国数学家费雷德·海伦尼乌斯编制了一套计算机程序,将“多完全数”的个数扩大到了1288个.其中,包括14个天文数字的大数,它们的“指标”是9,而最大的数有588位.

根据理论研究,对于每个“指标”,只有有限多个“多完全数”.“指标”为3的“多完全数”,只有6个;“指标”为4的“多完全数”只有36个;“指标”为5的“多完全数”只有65个;然而,“指标”是8的“多完全数”,已经知道的就有400多个.人们在探索中发现,随着“多完全数”的变大,它的分布密度越来越稀疏.它们是否会在自然数中消失呢? 这是一个悬而未决的问题.