奇妙的数学世界：速算法计算多位数的乘法，找出相乘积的同位数

速算法计算多位数的乘法,是直接找总积的每位数来进行的.而总积的每位数,就是所有各位数逐位相乘中所得到的各个“同位数”之和.如何找出那些各个相乘积的“同位数”呢? 为了便于找法,首先把乘法算式做如下规定:

1.算式写法

(1)被乘数首位数前面补“0”,表示占最高位相乘所得的积的进位数,即代替一位数乘以多位数的定首数.实际运算中,定首数相当于乘0.这样就统一了运算程序,不再时而定首数,时而不定首数.熟悉之后可以不补“0”,直接在被乘数首位前读一个“0”.

(2)乘数的首数与被乘数的尾数对齐,这种写法简称“接尾式”.这样写,利于看清运算程序,找相乘二数.以首尾相接为准,以前(左),都是乘数的首数开头乘,简称“首开头”,以后(右),都是被乘数的尾数开头乘,简称“尾开头”.

(3)书写积的每位数,积的首位数对“0”,以后逐位对齐.这样写便于找出各位相乘的另一个开头数,就是从高位算起,算哪位写哪位,写完以后,“下位”开头.这样两个开头相乘的数就完全确定了.同时,这样写也利于检查积的位数,只要逐位对齐,不必再去数积的位数,因为被乘数首位数前补“0”多出一位,而乘式的首尾对齐减少一位,总数还是没有变.

(4)在相乘的积的“同位数”相加中,满十要进位.积的个位写在本位,进位数用:“点”暂注在前位的右下角.这里:进位、个位分别写(过度式),便于检查得数.最后,进位、个位相加(完成式).

对照乘法算式的写法,可以把“找积的每位数”的方法简要的表述为:高位算起逐位清,分清首尾开头乘.挨位“外移”再相乘,乘积累加再移位,一方无数写得数.

上述统称为“外移法”.这里的“高位算起”,包括所补的“0”.逐位清表示算完本位接算下位.“分清首尾开头乘”是指首尾相接位以前是“开头乘”,以后是“尾开头”,再根据逐位清,就定了开头相乘二数.“外移”是指以首尾相接位为界,被乘数向前(左)移位,乘数向后(右)移位.“挨位外移”再相乘,是指被乘数和乘数同时向外移一位,移位后的二数相乘.这里表示的是被乘数扩大十倍,同时乘数缩小十倍,扩大和缩小后的二数相乘,所得的积与原来相乘的积是同位数.“乘积相加再移位”是指把移位前后乘得的积相加起来,就是积的“同位数”相加.

注意:相加时本位满十要进位,下面紧接着“挨位外移”再相乘,又得到一个积的“同位数”,将它们累加起来.依此类推.“一方无数写得数”是指进行移位后,如果被乘数或乘数中一方没有数时,表明同位数已找完,就可以写得数了.写完得数后,另从开头算,如此反复进行,直到尾尾相乘为止.尾尾相乘可以直接写得数,不需移位.在相乘时,都要按照一位数乘多位数的方法进行,算被乘数本位要看它的后位定得数,但不全部算完每一位数,只要取本位积就行了.

2.结合手算

在做多位数乘法运算中,可采用手指记数法.暂记乘积中得到积的个位数.这样便于记同位数相加中累加得到的数,减轻运算中记忆的负担.

下面举例说明多位数乘法的计算方法.

例1 计算5618×234

解:1)被乘数的首位前补“0”

说明:

(1)0×2得1(高位算起,首开头)首位对“0”写1.

(2)2×5得1(逐位清,开头乘),手记1,0×3得1(挨位外移),手记1+1=2(乘积累加),数位对齐写2(本来还可以移位,但被乘数“0”前面没有数了,一方无数写得数).

(3)6×2得2(逐位清,开头乘),手记2.3×5得6(外移乘).2+6=8,手记8.0×4得2(再外移乘),手中8+2=10,进1写0.

(4)1×2得3(逐位清,开头乘)手记3,3×6得8(外移乘),手中3+8=11,进1手记1.5×4得2(外移乘),手中1+2=3,写3(乘数4后位没有数,一方无数写得数).

(5)8×2得6(逐位清,首尾相乘算作首开头),手记6,1×3得5(外移乘),手中6+5=11,进1手记1.4×6得4(外移乘),手中1+4=5,写5.

(6)8×3得4(逐位清,尾开头),手记4,1×4得7(外移乘),手中4+7=11,进1写1.

(7)8×4得2(逐位清,尾开头),写2(尾尾相乘直接写得数).最后将每位的进位、个位相加(满十要进位),得到乘积是:1314612(完成).

检查积的位数:数位对齐共是七位数.抽查积的某位数:只要对准所查数上面的数位,再按照首尾开头的规定,找出它的相乘数,然后挨位外移去相乘,到无数可乘时为止,分别核对前位进数和本位个数就行了.如抽查(4),上面所对的是1,1在首尾相接位的前位,因此是“首开头”就是:1×2得3(手记3).3×6得8(挨位外移再相乘),手中3+8=11,进1手记1.5×4得2(再挨位外移0相乘),手中1+2=3,本来还可以外移,因为乘数4后面没有数,“一方无数写得数”.结果前位数是进1,本位积是3,正确.

在多位数乘法里,进行同位数累加时,进几要暂注几个点.不论积的哪位相加时,满十都要进位.如果首位相乘中的积是0,0可以不写,但要空一无位,以免出错.

例2 计算2395×3486(www.xing528.com)

例3 计算 224×456

练习

【阅读与欣赏】

青年数学家阿贝尔

解决了三,四次方程之后,数学家自然要考虑一般的五次或更高次的方程能否像二,三,四次方程一样来求解,也就是说,对于形如的代数方程,如何求根解呢? 在解决了三,四次方程后的整整两个半世纪内,很少有人怀疑五次或五次以上方程根式求解的可能性.但是所有寻求这种解法的努力都失败了.1770年法国数学家拉格朗日(J.L.L.agrange,1736—1813年)在一篇文章中考察了人们所熟悉的二,三,四次方程的一切解法,指出这些解法所根据的情况对于五次方程及更高次方程不可能成立.拉格朗日试图证明其不可能性,然而在长达200页的论文之后,仍未能如愿,这个问题“好像是向人类智慧的挑战”.

横遭冷遇的青年数学家阿贝尔

阿贝尔留下的一些思想,可供数学家们工作500年.

——埃米特

迎接这一挑战的是在拉格朗日的文章发表过后半个世纪,来自挪威的一位青年阿贝尔.翻开近世数学的教科书和专门著作,阿贝尔这个名字是屡见不鲜的:阿贝尔积分、阿贝尔函数、阿贝尔积分方程、阿贝尔群、阿贝尔级数、阿贝尔部分和公式、阿贝尔基本定理、阿贝尔极限定理、阿贝尔可和性,等等.很少几个数学家能使自己的名字同近世数学中这么多的概念和定理联系在一起.然而这位卓越的数学家却是一个命途多舛的早夭者,只活了短短的27年.尤其可悲的是,在他生前,社会并没有给他的才能和成果以公正的承认.

尼耳期·亨利克·阿贝尔(N.H.Abel,1802-1829年)1802年8月出生于挪威的一个农村.他很早便显示了数学方面的才华.16岁那年,他遇到了一个能赏识其才能的老师霍姆伯(Holmboe)并介绍他阅读牛顿、欧拉、拉格朗日、高斯的著作.大师们不同凡响的创造性方法和成果,一下子开阔了阿贝尔的视野,把他的精神提升到一个崭新的境界,他很快被推进到当时数学研究的前沿阵地.后来他感慨地在笔记中写下这样的话:“要想在数学上取得进展,就应该阅读大师的而不是他们的门徒的著作.”

1821年,由于霍姆伯和另几位好友的慷慨资助,阿贝尔才得以进入奥斯陆大学学习.两年以后,在一本不出名的杂志上他发表了第一篇研究论文,其内容是用积分方程解古典的等时线问题.这篇论文表明他是第一个直接应用并解出积分方程的人.接着他研究一般五次方程问题.开始,他曾错误地认为自己得到了一个解.霍姆伯建议他寄给丹麦的一位著名数学家去审阅,幸亏审阅者在打算认真检查以前,要求提供进一步的细节,这使阿贝尔有可能自己来发现并修正错误.这次失败给了他非常有益的启发,他开始怀疑,一般五次方程究竟是否可解? 问题的转换开拓了新的探索方向,他终于成功地证明了要像较低次方程那样用根式解一般五次方程是不可能的.

这个青年人的数学思想已经远远超越了挪威国界,他需要与有同等智力的人交流思想和经验.由于阿贝尔的教授们和朋友们强烈地意识到了这一点,他们决定说服学校当局向政府申请一笔公费,以便他能作一次到欧洲大陆的数学旅行.经过例行的繁文缛节的手续和耽搁延宕后,阿贝尔终于在1825年8月,开始其历时两年的大陆之行.

踌躇满志的阿贝尔自费印刷了证明五次方程不可解的论文,把它作为自己晋谒大陆大数学家们,特别是高斯的科学护照.他相信高斯将能认识他工作的价值而超出常规地接见他.但看来高斯并未重视这篇论文,因为人们在高斯死后的遗物中发现阿贝尔寄给他的小册子还没有拆开.

柏林是阿贝尔旅行的第一站.他在那里滞留了将近一年时间.虽然等候高斯召见的期望终于落空,这一年却是他一生中最幸运、成果最丰硕的时期.在柏林,阿贝尔遇到并熟识了他的第二个伯乐——克雷勒(Crelle).克雷勒是一个铁路工程师,一个热心数学的业余爱好者,他以自己所创办的世界上最早专门发表创造性数学研究论文的期刊《纯粹和应用数学杂志》而在数学史上占有一席之地,后来人们习惯称这本期刊为“克雷勒杂志”.与该刊的名称所标榜的宗旨不同,实际上它上面根本没有应用数学的论文,所以有人又戏称它为“纯粹非应用数学杂志”.阿贝尔是促成克雷勒将办刊拟议付诸实施的一个人.初次见面,两个人就彼此留下了良好而深刻的印象.阿贝尔说他拜读过克雷勒的所有数学论文,并且说他发现在这些论文中有一些错误.克雷勒非常谦虚,他已经意识到眼前这位脸带稚气的年轻人具有非凡的数学天才.他翻阅了阿贝尔赠送的论五次方程的小册子,坦率地承认看不懂.但此时他已决定立即实行拟议中的办刊计划,并将阿贝尔的论文载入第一期.

阿贝尔一生最重要的工作——关于椭圆函数理论的广泛研究就完成在这一时期.相反,过去横遭冷遇,历经艰难,长期得不到公正评价的也就是这一工作.现在公认,在被称为“函数论世纪”的19世纪的前半叶,阿贝尔的工作还有后来雅可比(K.G.Jacobi,1804-1851年)发展了这一理论是函数论的两个最高成果之一.

椭圆函数是从椭圆积分来的.早在18世纪,从研究物理、天文、几何学的许多问题中经常导出一些不能用初等函数表示的积分,这些积分与计算椭圆弧长的积分往往具有某种形式上的共同性,椭圆积分就是如此得名的.19世纪初,椭圆积分方面的权威是法国科学院的耆宿、德高望重的勒让得(A.M.Legen-dre,1752-1833年).他研究这个题材长达40年之久,他从前辈工作中引出许多新的推断,组织了许多常规的数学论题,但他并没有增进任何基本思想,他把这项研究引到了“山重水复疑无路”的境地.也正是阿贝尔,使勒让得在这方面所研究的一切黯然失色,开拓了“柳暗花明”的前途.

关键来自一个简单的类比.微积分中有一条众所周知的公式.公式左边那个不定积分的反函数就是三角函数.不难看出,椭圆积分与上述不定积分具有某种形式的对应性,因此,如果考虑椭圆积分的反函数,则它就应与三角函数也具有某种形式的对应性.既然研究三角函数要比表示为不定积分的反三角函数容易得多,那么对应地研究椭圆积分的反函数(后来就称为椭圆函数)不也应该比椭圆积分本身容易得多吗?

“倒过来”,这一思想非常优美,也的确非常简单、平凡.但勒让得苦苦思索40年,却从来没有想到过它.科学史上并不乏这样的例证“优美、简单、深刻、富有成果的思想,需要的并不是知识和经验的单纯积累,不是深思熟虑的推理,不是对研究题材的反复咀嚼,需要的是一种能够穿透一切障碍深入问题根底的非凡的洞察力,这大概就是人们所说的天才吧.“倒过来”的想法像闪电一样照彻了这一题材的奥秘,凭借这一思想,阿贝尔高屋建瓴,势如破竹地推进他的研究.他得出了椭圆函数的基本性质,找到了与三角函数中的π有相似作用的常数K,证明了椭圆函数的周期性.他建立了椭圆函数的加法定理,借助于这一定理,又将椭圆函数拓广到整个复域,并因而发现这些函数是双周期的,这是别开生面的新发现;他进一步提出一种更普遍更困难类型的积分——阿贝尔积分,并获得了这方面的一个关键性定理,即著名的阿贝尔基本定理,它是椭圆积分加法定理的一个很宽的推广.至于阿贝尔积分的反演——阿贝尔函数,则是不久后由黎曼(B.Riemann,1826-1866 年)首先提出并加以深入研究的.事实上,阿贝尔发现了一片广袤的沃土,他个人不可能在短时间内把这片沃土全部开垦完毕,用埃尔米特(Hermite)的话来说,阿贝尔留下的后继工作,“够数学家们忙上五百年”.

阿贝尔把这些丰富的成果整理成一长篇论文《论一类极广泛的超越函数的一般性质》.此时他已经把高斯置诸脑后,放弃了访问哥延根的打算,而把希望寄托在法国的数学家身上.他婉辞了克雷勒劝其定居柏林的建议后,便启程前往巴黎.在这世界最繁华的大都会里,荟萃着像柯西(A.L.Cauchy,1789—1857年)、勒让得、拉普拉斯(P.S.LapLace,1749—1827年)、傅立叶(I.Fourier,1768—1830 年)、泊松(S.D.Poisson,1781—1840年)这样一些久负盛名的数字巨擎,阿贝尔相信他将在那里找到知音.1826年7月,阿贝尔抵达巴黎.他见到了那里所有出名的数学家,他们全都彬彬有礼地接待他,然而却没有一个人愿意仔细倾听他谈论自己的工作.在这些社会名流的高贵天平上,这个外表腼腆、衣着寒酸、来自僻远落后国家的年轻人能有多少份量呢? 阿贝尔在写给霍姆伯谈巴黎观感的信中说道:“法国人对陌生的来访者比德国人要世故得多.你想和他们亲密无间简直是难上加难,老实说我现在也根本不奢望能有些荣耀.到头来,任何一个开拓者要想在此间引起重视,都得遇到巨大的障碍.尽管阿贝尔非常自信,但对这一工作能否得到合理评价已经深有疑虑了.他通过正常渠道将论文提交法国科学院.科学院秘书傅立叶读了论文的引言,然后委托勒让得和柯西负责审查.柯西把稿件带回家中,究竟放在什么地方,竟记不起来了.直到两年以后阿贝尔已经去世,失踪的论文原稿才重新找到,而论文的正式发表,则迁延了12年之久.从满怀希望到渐生疑虑终至完全失望,阿贝尔在巴黎空等了将近一年.他寄居的那家房东又特别吝啬刻薄,每天只供给他两顿饭,却收取昂贵的租金.一天他感到身体很不舒畅,经医生检查,诊断为肺病,尽管他顽强地不相信,但实情是他确已心力交瘁了.阿贝尔只好拖着病弱的身体,怀着一颗饱尝冷遇而孤寂的心告别巴黎回国.当他重到柏林时,已经囊空如洗.幸亏霍姆伯及时汇到一些钱,才使他能在柏林稍事休整后返回家园.

是谁该对阿贝尔的厄运负责呢? 人们很自然会想起审评阿贝尔论文的柯西、勒让得.柯西当时38岁,正年富力强,创造力旺盛,忙于自己的事,顾不上别人而疏忽铸下了大错.勒让得怎么样呢? 年逾古稀,功成名就,在法国科学界享有崇高的威望,他当时不可能像柯西那样忙着搞研究,理应对培养、识拔年轻一代的科学人才负有更多责任.然而主要的是,阿贝尔这篇论文所处理的题材恰恰是勒让得所熟悉的,从某种意义上来说,是他的世袭领地.尽管论文里包含着许多新奇、艰深的概念,但导致这些概念的基本思想却是简单的.一个外行也许没有能力欣赏这种简单思想的优美性和深刻性,但勒让得对所论问题却绝非外行,他自己思考过几十年,深知在旧有基本思想框架内,知识业已达到饱和状态,要获取新的知识,除非打破框架,引进新的基本思想.对他来说,其实根本无须仔细阅读论文,只有稍事点拨,三言两语说明一下基本思想,就足以起到振聋发聩的作用.但是他却好像毫无感受,实在令人费解.事实上,阿贝尔论文的内容,他并非一无所知,当他得知另一位青年数学家雅可比(Jacobi)也独立做了椭圆函数理论方面相当系统的工作后,他曾告诉过雅可比,有一个年轻的斯堪的纳维亚人已先他发现了这一问题.雅可比如饥似渴地读完阿贝尔那篇失落两年又奇迹般出现的论文,不禁气愤地写信责问科学院:“阿贝尔先生做出了一个多么了不起的发现啊! 有谁看到过别的堪与比美的发现呢? 然而,这项也许称得上本世纪最伟大的数学发现,两年以前就提交给你们科学院了,却居然没有引起你们的注意,这究竟是怎么一回事呢?”勒让得复信为自己提出的辩解是令人失笑的:“我们感到论文简直无法阅读,因为它是用几乎白色的墨水写的,字母拼写得很糟糕,我们都认为应该要求作者提供一个较清楚的文本.”真是掩耳盗铃,文过饰非.

让我们再看看高斯.高斯一生勤勉,有许多伟大的数学发现,却错过了发现这个伟大数学人才的机会.科学史经常在告诫:大凡富有创造性的见解,开始总是与传统观念相抵触的.

但阿贝尔最终毕竟还是幸运的,他回挪威后一年里,欧洲大陆的数学界渐渐了解了他.继失踪的那篇主要论文之后,阿贝尔又写过若干篇类似的论文,都在《克雷勒杂志》上发表了.这些论文将阿贝尔的名字传遍欧洲所有重要的数学中心,他已成为众所瞩目的优秀数学家之一.遗憾的是,他处境闭塞,孤陋寡闻,对此情况竟无所知.甚至连他想在自己的国家谋一个普通的大学教职也不可得.1829年1月,阿贝尔的病情恶化,他开始大口吐血,并不时陷入昏迷.他的最后日子是在一家英国人的家里度过的.因为他的未婚妻凯姆普(Kemp)是那个家庭的私人教师.阿贝尔已自知将不久于人世,这时,他唯一牵挂的是他女友凯姆普的前途,为此,他写信给最亲近的朋友基尔豪(Kiel-hau),要求基尔豪在他死后娶凯姆普为妻.尽管基尔豪与凯姆普以前从未谋面,为了让阿贝尔能死而瞑目,他们照他的遗愿做了.临终的几天,凯姆普坚持只要自己一个人照看阿贝尔,他要“独占这最后的时刻”.

1829年4月6日晨,这颗耀眼的数学新星便过早地殒落了.阿贝尔死后两天,克雷勒的一封信寄到,告知柏林大学已决定聘请他担任数学教授.损失是难以估计的,如果阿贝尔活到应活的寿命,他又将要做出多少新的贡献啊!

通过阿贝尔的遭遇,我们认识到,建立一个客观而公正的科学评价体制是至关重要的.科学界不仅担负着探索自然奥秘的任务,也担负着发现从事这种探索的人才的任务.科学是人的事业,问题是要靠人去解决的.科学评价中的权威主义倾向却往往有害于发现和栽培科学人才.科学不权威意味着他在科学的某一领域里曾做过些先进工作,他可能是科学发现方面踌躇满志的权威,却不一定是评价、发现、培养科学人才的权威,尤其当科学新分支不断涌现,所要评价的对象是关于连权威都陌生的新领域的工作时,情况更是如此.