河川径流信息密码解密：ADF检验

由于大多数序列的εt不是白噪声，如果εt是相关过程时，由Dickey-Fuller给出的极限分布和临界值就不能认为是正确的。Dickey和Fuller证明，如果实行扩展Dickey-Fuller回归，则在εt是白噪声过程的假设下得到的极限分布和临界值，在εt是自回归过程时也是有效的。

Dickey和Fuller提出的扩展Dickey-Fuller检验方法（Augmented Dickey-Fuller），是在式（5-3）右边加入足够的Δyt-i使残差为白噪声，以I（1）为例

式中：w=ρ-1，为yt-1的系数，t-统计量具有与Dickey-Fuller相同的渐近分布，且不依赖于δi。方程中加入k个滞后项是为了使残差项为白噪声以保证推断的可靠性，k的选取采用Akaike （1974年）或Sckwart（1987年）推荐的方法，k的最大值为kmax=12（N/100）1/4，其中N 表示观测值的个数。

ADF检验同样可考虑三种回归形式，除式 （5-6-1）外，另外两种形式为

表5-1的临界值同样适合模型（5-6-1）、模型（5-6-2）和模型（5-6-3）。

实际检验时从模型（5-6-3）开始，然后模型（5-6-2）、模型（5-6 1），如果检验拒绝零假设H0∶ρ=1，即原序列不存在单位根，则为平稳序列，这时可检验停止。否则，继续检验模型，只有检验到最后，才能得到原序列存在单位根的结论，检验原理与DF检验相同，只是对模型 （5-6-1）、模型（5-6-2）和模型（5-6-3）进行检验时，有各自相应的临界值表。

ADF检验的具体步骤如下。

5.3.2.1　估计和检验模型 （5-6-3）

估计模型（5-6-3），并得到参数的t-统计量。

第一步，检验H0∶ρ=1。从ADF分布临界值表中查得给定显著性水平下的用于模型（5-6-3）检验的τρ临界值。如果参数ρ-1的t-统计量小于临界值 （因为τρ的临界值为负值，参数ρ-1的估计量一般为负，其t-统计量也为负，所以t-统计量小于临界值等价于其绝对值大于临界值的绝对值），则拒绝零假设，此时即可以得出序列不存在单位根的结论，不再进入下面的步骤；否则，进入下一步骤。(https://www.xing528.com)

第二步，给定ρ=1，检验H0∶β=0。从ADF临界值表中查得给定置信水平下的用于模型（5-6-3）检验的τβ的临界值。如果参数β的t-统计量大于临界值（因为τβ的临界值为正值，参数β的估计量一般为正，其t-统计量也为正，所以t-统计量大于临界值等价于其绝对值大于临界值的绝对值），则拒绝零假设，进入下一步骤。否则，即说明模型不包含时间趋势项，应该采用模型（5-6-2）的形式，则要继续估计和检验模型（5-6-2）。

第三步，用一般的t分布检验H0∶ρ=1。如果拒绝零假设，则原序列不存在单位根，为平稳序列；否则，说明原序列是不平稳的，必须对其差分后进一步检验其单位根。

5.3.2.2　估计和检验模型 （5-6-2）

估计模型（5-6-2），并得到参数的t-统计量。

第一步，检验H0∶ρ=1。从ADF分布临界值表中查得给定显著性水平下的用于模型（5-6-2）检验的τρ临界值。如果参数ρ-1的t-统计量小于临界值，则拒绝零假设，此时即可以得出序列不存在单位根的结论，不再进入下面的步骤；否则，进入下一步骤。

第二步，给定ρ=1，检验H0∶α=0。从ADF临界值表中查得给定置信水平下的用于模型（5-6-2）检验的τα的临界值。如果参数α的t-统计量大于临界值，则拒绝零假设，进入下一步骤。否则，即说明模型不包含常数项，应该采用模型（5-6-1）的形式，则要继续估计和检验模型（5-6-1）。

第三步，用一般的t分布检验H0∶ρ=1。如果拒绝零假设，则原序列不存在单位根，为平稳序列；否则，说明原序列是不平稳的，必须对其差分后进一步检验其单位根。

5.3.2.3　估计和检验模型 （5-6-1）

估计模型（5-6-1），并得到参数的t-统计量。

检验H0∶ρ=1。从ADF分布临界值表中查得给定显著性水平下的用于模型 （5-6-1）检验的τρ临界值。如果参数ρ-1的t-统计量小于临界值，则拒绝零假设，得出序列不存在单位根的结论，否则，说明原序列是不平稳的，必须对其差分后进一步检验其单位根。