古典概型：计算结果详解

概率的统计定义的优点是直观明了且实用性强,但要求试验次数n很大,依此来计算事件的概率并不方便,即使能进行大量重复试验也只能得到概率的近似值,即用频率来近似代替概率。在实际问题的研究中还可以根据问题本身所具有的某种“对等性”来对概率进行研究。

概率的古典定义是根据问题本身所具有的某种“对等性”,分析事物的本质,来直接计算概率的。

定义1.3.4 如果一个试验满足两个条件:

①试验只有有限个基本结果;

②试验的每个基本结果出现的可能性是一样的。这样的试验,称为等可能试验或古典试验。

对于古典试验中的事件A,它的概率定义为

其中:n表示该试验中所有可能出现基本结果的总数目,m 表示事件A 包含的试验基本结果数。这种定义概率的方法称为概率的古典定义。

概率的古典定义直观上容易理解,掷一均匀硬币,P(字面朝上)=

掷一枚均匀骰子,P(出现偶数点)=,P(出现点数小于3)=

在用古典定义计算时,首先要看该试验是否是古典试验,也就是是否满足古典定义的两个条件,否则就易出错,请看下面的例子。

例1.3.1 等可能地从1,2,3,4,5这5个数字中可重复地抽取两个数,两个数的数字之和的可能结果共有2,3,…,10这9种,“数字之和等于6”这个事件记为A,事件A 发生的概率是吗?

如果不假思索地利用古典定义解题,则

但这是错误的,该试验样本空间满足概率古典定义的第1个条件,但注意到该试验样本空间的基本结果并不满足概率古典定义的第2个条件,比如数字之和等于2的机会和等于3的机会并不相等,原因是数字之和为2的事件包含第1个数是1且第2个数还是1(用(1,1)表示),数字之和为3的事件包含第1个数是1且第2个数是2(用(1,2)表示)和第1个数是2且第2个数是1(用(2,1)表示)两个等可能的事件,因此根据试验条件知数字之和等于3的机会是数字之和等于2的机会的2倍,为此必须重新构建样本空间:

共25个等可能的基本事件,数字之和等于6的事件包括5个基本事件{(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)},所以

例1.3.2 设有N 件产品,其中有D 件不合格品,今从中任取n件,试问这n 件产品中恰有k(k≤D)件不合格品的概率是多少?

解 在N 件产品中任取n 件(这里指不放回抽样)共有CnN 种取法,从D 件不合格品中取k 件的可能取法为CkD,在N-D 件合格品中取n-k件的可能取法为Cn-kN-D,故所求概率为

这个概率称为超几何概率。(www.xing528.com)

例1.3.3 将n个球任意放入N(N≥n)个盒子中,试求每个盒子至多有一只球的概率(设盒子的容量不限)。

解 将n只球放入N 个盒子中,每一种放法是一个基本事件。易知,这是古典概率问题。因每一只球都可以放入N 个盒子中的任一个盒子。故共有N·N·…·N=Nn 种不同的放法,而每个盒子中至多放一只球共有N(N-1)…[N-(n-1)]种不同的放法。因而所求的概率为

有许多问题和本例具有相同的数学模型。例如,假设每人生日在一年365天中的任一天是等可能的,即都等于1/365,那么随机选取n(n≤365)个人,他们的生日各不相同的概率为

[365×364×…×(365-n+1)]/365n

因而,n个人中至少有两人生日相同的概率为

p=1-[365×364×…×(365-n+1)]/365n

经计算可得如下结果:

从上表可以看出,在仅有64人的群体中,至少有两人生日相同的概率很接近1。

例1.3.4 将12名乒乓球手随机地平均分配到3个组(组有编号),这12名球手中有3名国手,试问:

(1)每组各分配1名国手的概率是多少?

(2)3名国手分配在同一组的概率是多少?

解 12名球手平均分配到3个组的分法总数n是

(1)将3名国手分到3组每组1名国手的分法共3!种,对应每一种分法,其余9名球手平均分到3个组的分法有种。故每组恰有一名国手的分法共有m=3!9!/(3!3!3!)种。于是所求概率p1 为

(2)将3名国手分到同一组内的分法有3种,对应每一种分法,其余9名球手的分法(一组1名,另两组各4名)有9!/(1!4!4!)种,因此3名国手分在同一组的分法共有(3×9!)/(1!4!4!)种,于是,所求概率p2 为

例1.3.5 从数字1,2,…,9中每次任取一个数字,独立重复地抽取n 次,试问这n 个数字的积被10除尽的概率是多少?

该问题仅仅依靠概率的古典定义很难解答,这类问题需要在事件的运算基础上进一步掌握概率的运算法则,在学习了概率的运算法则后我们再给出答案。