《概率论与数理统计》：概率的加法法则

加法法则1:如果事件A,B 是互不相容的,则

这个公式表达了概率最重要的特性:可加性。它是从大量实践经验中概括出来的,成为研究概率的基础和出发点。在概率论中它成为一条公理,叫作加法公理。

由于互不相容,依加法公理有

从而

或

例1.4.1 一批产品共十件,其中有两件不合格品,从中任取3件,求:(1)最多一件不合格品的概率;(2)至少有一件不合格品的概率。

解 (1)设A 表示“最多一件不合格品”,B 表示“无不合格品”,C 表示“正好一件不合格品”。则A=B∪C,且BC=∅,依式(1.4.1)有

(2)设事件D 表示“至少有一件不合格品”,则=“全合格品”,依式(1.4.3)有

加法公理的推广:对于n个互不相容事件或可列个互不相容事件的表达形式为

加法法则的拓展(减法法则),对于任意两个事件A,B,总有

证明 根据差事件的定义知,

又

由加法法则1,

即

加法法则2(概率的一般加法公式):若A,B 是相容的,即AB≠∅,则有(www.xing528.com)

证明

又

证毕。

加法法则2的推广:对于n个事件

特别地,

P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

下面利用加法法则2解答1.3节例1.3.5。

解 设A={n个数字的乘积被10除尽},B={n 个数字中不含5},C={n 个数字中不含偶数},则,显然B 和C 是相容的,故

而

故

例1.4.2 将1,2,…,n这n 个自然数分别写在n 张同样的卡片上,然后将其随意排成一列,试求至少有一张卡片上的数字与其排列的序号一致的概率。

解 引进事件:A={至少有一张卡片上的数字与其排列的序号一致},Ai={写有数字i的卡片恰好排在第i位上}(i=1,2,….n)。显然所要求的概率为

由概率的一般加法公式,有