总体和表征总体的随机变量:《概率论与数理统计》

在数理统计中,直观地可将研究对象的全体称为总体(Population),而把组成总体的每个元素称为个体。例如,一批产品、一个城市的人口、一个地区历年的夏季、一个学校的全体学生,等等,都构成总体,其中每一件产品、每一个居民、每一年的夏季、该校的每一个学生,等等,就是相应总体的一个个体。通过对一部分个体信息的观察来估计、推断总体的某些信息,正是数理统计所要研究的课题。

1.表征总体的指标

表征总体的指标指统计研究所要考察的总体特征。在用统计方法研究总体时,人们关心的并不是每个个体本身,而是要考察这些个体的某些指标值(数量的或者定性的)。表6.1.1所示为总体、个体和相应指标的示例。

表6.1.1

由于这些指标值可能有重复,例如,食盐的重量,可能有许多袋食盐的重量是500克,有5袋是501克,有3袋是499克。这就是说,这些数量指标的每个值所占的比重不一样,即每个数值在这些数据中出现的概率不一样。这样,总体就对应了一个具有一定概率分布的随机变量。因此在数理统计问题的研究中,所谓总体就是相应其取值分布的随机变量。(www.xing528.com)

2.表征总体的随机变量

以ω 表示个体,以Ω={ω}表示所有ω 的集合——总体。若关心的是某个数量指标,以X=X(ω)(ω∈Ω)表示个体ω 的该指标。

数学上,总体Ω={ω}是抽象元素ω 的集合,其中ω 可以是数字、人、物……为便于叙述称之为原总体。由于人们并不关心统计研究中原总体的个别元素,而是要考察与这些元素相联系的数量特征X=X(ω)(ω∈Ω),因此可以把所要考察的指标X 称作表征总体的指标。另外,从原总体Ω={ω}随意取一元素ω 并测定其指标值X=X(ω),就是一次随机试验,而X=X(ω)作为随机试验中被测量的量是一个随机变量,称之为表征总体的随机变量。于是,数学上可以把表征总体的随机变量视为总体。

3.总体的数学定义

设X 是表征总体的随机变量,则称随机变量X 为总体,简称总体X;称X 的数字特征为总体X 的数字特征;如果总体X 服从正态分布,则称之为正态总体。