概率论与数理统计-控制问题

控制是预测的反问题,即要求以100(1-α)%的置信度求出相应的x1,x2,使得x1＜X＜x2时X 所对应的观测值y 落在(y1,y2)内。

图10.4.2

在式(10.4.9)中,我们得到y0 的100(1-α)%预测区间为

其中,δn=,由此可以看出,当样本观测值给定时,δn 仍然依x0 而变,x0 越接近于x,δn 越小,预测越精密,反之,预测就越差。

设x0 取一般值x,则由式(10.4.10)可得

其中,

由式(10.4.11),具体而言,控制问题就是在一般情况下,寻找两个数x1,x2,使得对∀x∈(x1,x2),恒有

在一般情形下δ(x)的形式非常复杂,要简化计算,一般在样本容量n 较大且x 离x较近时,式(10.4.12)中的根式可近似地等于可用近似。由式(10.4.13),只需解方程组

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即可得x1,x2,从而得到x 的控制范围。

例10.4.3 在某种产品表面进行腐蚀刻线试验,得到腐蚀深度y 与腐蚀时间x 对应的一组数据,如表10.4.1所示。若要求腐蚀深度为10～20μm,则腐蚀时间应如何控制?

表10.4.1

解 易算出因为n=11,所以又

则有

故腐蚀深度y 对腐蚀时间x 的回归直线为

要求深度为10～20μm 时,由式(10.4.14)得

由此解得x1=29.70,x2=33.72,即腐蚀时间控制在29.70s和33.72s之间。