理论力学学习指导：习题精解及图示分析

【习题2.1】如图2.4所示，轮O1和O2的半径均为r，轮O1转动角速度为ω，并带动O2转动。某瞬时在O1轮上取A点，在O2轮上与O2A垂直的半径上取B点，如图2.4所示。试求：该瞬时（1）B点相对于A点的相对速度；（2）B点相对于轮O1的相对速度。

【解】（1）取动点为B点，动系为O1轮上的A点，牵连运动为平动，速度矢量如图2.5（a）所示。

由速度合成定理：va＝ve＋vr，其中：va＝ωr，ve＝ωr，根据图中几何关系得：

图2.4　习题2.1图

图2.5

（2）动点为B点，动系为轮O1，牵连运动为转动，速度矢量如图2.5（b）所示。

【习题2.2】绕轴O转动的圆盘及直杆OA上均有一导槽，两导槽间有一活动销子M如图2.6所示，b＝0.1m。设在如图2.6所示位置时，圆盘及直杆的角速度分别为ω1＝9rad／s和ω2＝3rad／s。求此瞬时销子M的速度大小。由速度合成定理得：

图2.6　习题2.2图

图2.7

故

将此式向水平方向投影，得

由此解出

代入数据得vr2＝0.4m／s，ve2＝0.346m／s，

【习题2.3】如图2.8所示曲柄滑道机构中，曲柄长OA＝r，并以匀角速度ω绕O轴转动。装在水平杆上的滑槽DE与水平线成60°。求当曲柄与水平线交角φ＝0，30°，60°时，杆BC的速度。

【解】动点为OA杆上的A点，动系为固连于CBDE上的坐标系，速度矢量如图2.9所示。

由速度合成定理va＝ve＋vr得va，ve，vr构成一个矢量三角形，由于动系为水平平动，则ve＝vCBDE＝vBC，另va＝rω，由三角形正弦定理得：

图2.8　习题2.3图

图2.9　

将φ＝0°、30°、60°分别代入上式，得

【习题2.4】如图2.10所示，L形杆BCD以匀速v沿导槽向右平动，BC⊥CD，BC＝h。靠在它上面并保持接触的直杆OA长为l，可绕O轴转动。试以x的函数表示出直杆OA端点A的速度。

图2.10　习题2.4图

图2.11　

【解】取推杆上与AO杆接触的B点为动点，动系固连在AO上，B点速度分析如图2.11所示。

设OA角速度为ω，设∠OBC为θ，速度合成定理va＝ve＋vr，

由图2.11有：va＝v，ve＝ω·OB＝vasinφ，ω·OB＝vsinφ

图2.12　习题2.5图

【习题2.5】如图2.12所示，长为l的杆，绕O轴以角速度ω转动，圆盘半径为r，绕O′轴以角速度ω′转动。求圆盘边缘M1和M2点的牵连速度和加速度。

【解】分别以M1和M2点为动点，动系固连于杆OO′上，牵连运动为定轴转动，速度分析如图2.13（a）所示。

由速度合成定理：va＝ve＋vr

加速度分析如图2.13（b）所示。

由于牵连运动为转动，所以有aa＝ar＋ae＋ac。其中：ae1＝0，ae2＝0；

图2.13

ac1＝ac2＝2ωvr1＝2ωω′r。

针对M1点，取OO′方向为正方向投影，有

根据三角形关系可得

针对M2点，将绝对加速度往M2O′法向方向和切向方向分别投影得：

【习题2.6】　半径为R的半圆形凸轮D以等速v0沿水平线向右运动，带动从动杆AB沿铅直方向上升，如图2.14所示。求φ＝30°时，AB杆的速度和加速度。

【解】取AB杆上的A点为动点，凸轮为动系，凸轮作平动，相对运动轨迹为圆弧，速度分析如图2.15（a）所示。

由速度合成定理：va＝ve＋vr

图2.14　习题2.6图

加速度分析如图2.15（b）所示，A点各加速度之间的关系是：

图2.15

图2.16　习题2.7图

【习题2.7】如图2.16所示机构，已知BC＝AD＝2m，BC杆以匀角速度转动，ω＝2rad／s，求图示位置套筒E的速度和加速度。

【解】取滑套E为动点，AB为动系，速度矢量分析如图2.17（a）所示。

由速度合成定理：va＝ve＋vr

加速度矢量分析如图2.17（b）所示。

图2.17

【习题2.8】在如图2.18所示平面机构中，曲柄OA以匀角速度ω＝3rad／s绕O轴转动，AC＝3m，R＝1m，轮沿水平直线轨道作纯滚动。在图示位置时，OC为铅垂位置，φ＝60°。试求该瞬时轮的角速度和角加速度。

【解】取圆心C为动点，动系固连于AC杆上，牵连运动为平动，速度分析如图2.19（a）所示。

因为ve＝vA＝ω·OA＝33m／s，

图2.18　习题2.8图

将上式沿CA方向投影得：

图2.19

【习题2.9】如图2.20所示，曲柄长OA＝400mm，以等角速度ω＝0.5rad／s绕O轴逆时针转动。曲柄的A端推动水平板B，使滑杆C沿铅直方向上升。当曲柄与水平线间的夹角θ＝30°时，试求滑杆C的速度和加速度。

【解】取OA杆上的A点为动点，滑杆C为动系，对动点作速度分析和加速度分析，分别如图2.21（a）、（b）所示。

由速度合成定理和加速度合成定理：va＝ve＋vr，aa＝ar＋ae

其中：　va＝ω·OA＝0.5rad／s×0.4m＝0.2m／s

解得：　ve＝vacosθ＝0.2m／s×cos30°＝0.1732m／s

所以vc＝ve＝0.1732m／s，ac＝ae＝0.05m／s2

图2.20　习题2.9图(www.xing528.com)

图2.21

图2.22　习题2.10图

【习题2.10】牛头刨床的机构如图2.22所示。已知O1A＝200mm，匀角速度ω1＝2rad／s，求图示位置滑枕CD的速度和加速度。

【解】取O1A的A点为动点，O2B为动系，速度分析如图2.23（a）所示。

根据速度合成定理：vAa＝vAe＋vAr

因为vAa＝O1A·ω1＝ω1r

图2.23

再选B点为动点，CD为动系，B点的速度分析如图2.23（a）所示。

因为vBa＝ω2·O2B

解出：

取O1A的A点为动点，O2B为动系，A点的加速度分析如图2.23（b）所示。

将此式向η轴投影，得：

解出：

B点的加速度为：

解出：　aBe＝0.6567m／s2

【习题2.11】当杆OC转动时，通过杆OC上的销子A带动EBD绕B摆动，在如图2.24所示瞬时，杆OC的角速度ω＝2rad／s，角加速度为零，BA⊥OC，AB＝L＝15cm，θ＝45°。试求该瞬时EBD的角速度ωB和角加速度εB。

【解】取销子A为动点，动系固连于EBD。

（1）速度分析如图2.25（a）所示，计算EBD角速度ωB。

由速度合成定理：va＝ve＋vr

其中：va＝ωL＝2rad／s×15cm＝30cm／s

所以ve＝va·tanθ＝va＝30cm／s

图2.24　习题2.11图

图2.25

（2）加速度分析如图2.25（b）所示，计算EBD角加速度εB。

将上式沿ac方向投影，得：

【习题2.12】如图2.26所示，杆OA绕定轴O转动，圆盘绕动轴A转动。一直杆长l＝0.2m，圆盘半径r＝0.1m，在图示位置，杆的角速度和角加速度为ω＝4rad／s，α＝3rad／s2，圆盘相对于杆OA的角速度和角加速度为ωr＝6rad／s，αr＝4rad／s2。求圆盘上M1和M2点的绝对速度及绝对加速度。

【解】分别取M1、M2点为动点，动系固连于OA杆上。

（1）M1点的速度分析如图2.27（a）所示，由速度合成定理：va＝ve＋vr

因为ve＝（OA＋r）ω1＝3rω1＝3×100mm×4rad／s＝1200mm／s

所以va＝ve－vr＝1200mm／s－600mm／s＝600mm／s（方向与ve相同）

图2.26　习题2.12图

图2.27

其中：ae＝3rα1＝3×100mm×3rad／s2＝900mm／s2

由速度合成定理：va＝ve＋vr

（4）M2点的加速度分析如图2.27（e）所示。

将所有加速度分别向如图所示坐标系的x，y轴投影，得到

M2点的合成加速度的大小和方向如图2.27（f）所示。

【习题2.13】如图2.28所示，带滑道的圆轮以等角速度ω0绕O轴转动，滑块A可在滑道内滑动，已知OO1＝l，在图示瞬时，OA⊥OO1，且OA＝b，试求此瞬时：（1）滑块相对于圆轮的速度和加速度；（2）曲柄O1A的角速度及角加速度。

【解】取O1A杆的A点为动点，圆轮为动系，牵连运动为定轴转动。

（1）速度分析如图2.29（a）所示。

因为ve＝bω0，va＝lωO1A，

由速度合成定理：va＝ve＋vr

图2.28　习题2.13图

图2.29

【习题2.14】如图2.30所示的摆动式送料机，曲柄OA长为l，以角速度ω、角加速度α绕轴O转动，在图示瞬时设摆杆与铅垂线的夹角为θ，试求送料斗的加速度。

图2.30　习题2.14图

【解】选择滑块A为动点，动系固连于导杆BC杆上，速度分析如图2.31（a）所示。

图2.31

由速度合成定理：va＝ve＋vr

因为va＝lω

所以vD＝ve＝vacosθ＝lωcosθ

由于牵连运动为平动，加速度分析如图2.31（b）所示。

负号表示在此瞬时ae的指向与图2.31（b）中的方向相反。

【习题2.15】如图2.32所示曲柄滑杆机构中，滑杆上有圆弧形滑道，其半径为R＝10cm，圆心O1在导杆BC上，曲柄长OA＝10cm，以匀角速度ω＝4πrad／s绕轴O转动，试求在图示位置φ＝30°时，滑杆BC的速度和加速度。

【解】选择曲柄上的A点为动点，动系固连于导杆BC杆上，速度矢量分析如图2.33（a）所示。

由速度合成定理：va＝ve＋vr

图2.32　习题2.15图

图2.33

所以vCD＝ve＝va＝OA·ω＝100mm×4πrad／s＝1256mm／s≈1.26m／s

由于牵连运动为平动，加速度分析如图2.33（b）所示。

因为

向η轴方向的投影：

所以ae＝27.32m／s2，aCD＝ae＝27.32m／s2

【习题2.16】如图2.34所示，摇杆OC绕O轴转动，经过固定在齿条AB上的销子K带动齿条平移，而齿条又带动半径为10cm的齿轮D绕固定轴转动。如l＝40cm，摇杆OC的角速度ω＝0.5rad／s，试求当φ＝30°时，齿轮的角速度。

图2.34　习题2.16图

图2.35　

【解】选择K为动点，动系固连于OC杆上，速度分析如图2.35所示。

由速度合成定理：va＝ve＋vr