理论力学习题详解及图示解析

【习题7.1】A、B、C三小球构成一质点系，三球的质量分别为mA＝2kg，mB＝2.5kg，mC＝3.5kg。设三球在Oxy平面内运动，在图示瞬间三球的坐标分别为

三球的速度大小分别为vA＝4m／s，vB＝6m／s，vC＝5m／s，方向如图7.4所示。试计算：

（1）此瞬时质系的动量p；

（2）此瞬时质心的坐标xc，yc；

（3）此瞬时质心的速度vc。

图7.4　习题7.1图

解得：vc＝4.08m／s

【习题7.2】如图7.5示的椭圆机构中，AB杆的质量为2m1，曲柄OC质量为m1，滑块A和B质量均为m2。已知OC＝AC＝CB＝l，曲柄OC及杆AB皆为匀质，曲柄以角速度ω转动。求在图示位置时椭圆规机构的动量。

【解】将质点系统分为两部分，第一部分为杆AB和滑块A、B，由于对称，其质心在点C；第二部分为曲柄OC，其质心在OC的中点C1上。根据质点系的动量计算式，有：

图7.5　习题7.2图

图7.6

【习题7.3】　在如图7.7所示的系统中，均质杆OA、AB与均质轮的质量均为m，OA杆的长度为l1，AB杆的长度为l2，轮的半径为R，轮沿水平面作纯滚动。在图示瞬间，OA杆的角速度为ω，求整个系统的动量。

图7.7　习题7.3图

【习题7.4】平台车质量m1＝500kg，可沿水平轨道运动。平台车上站有一人，质量m2＝70kg，车与人以共同速度v0向右方运动。如果人相对平台车以速度vr（vr＝2m／s）向左方跳出，不计平台车水平方向的阻力和摩擦力，问平台车增加的速度为多少？

【解】以车与人为质点系进行研究，因为质点系在水平方向不受外力作用，故系统在水平方向动量守恒。以水平方向向右为x轴正向，人跳出时平台车速度为v，则由水平方向动量守恒得：　

代入数据解得：v＝v0＋0.246m／s，Δv＝v－v0＝0.246m／s

【习题7.5】如图7.8所示的浮动起重机举起质量m1＝2000kg的重物。设起重机质量m2＝20000kg，杆长OA＝8m；开始时杆与铅直位置成60°角，水阻力和杆重均略去不计。当起重杆OA转到与铅直位置成30°角时，求起重机的位移。

【解】取浮动起重机与重物为研究对象，由于不受水平方向外力作用且系统原来静止，故其质心的水平坐标不变。建坐标系O′xy，其中轴O′y通过船体中心的初始位置。设起重机位移为x，船半宽为a，由质心坐标公式得：

起重杆OA与铅直线成60°角时，如图7.9（b）所示。

图7.8　习题7.5图

图7.9

图7.10　习题7.6图

故起重机位置向左移动了0.266m。

【习题7.6】三个重物P1、P2及P3，其质量分别为m1＝20kg、m2＝15kg及m3＝10kg，四棱柱ABCD的质量m4＝100kg，它们用滑轮及细绳组成如图7.10所示的系统。如略去所有接触面间的摩擦和滑轮、绳子质量，求当重物P1由静止下降1m时四棱柱的位移。

【解】系统水平动量在P1下降前后保持守恒，故有

解得：

【习题7.7】均质杆AB长为2l，A端放置在光滑水平面上。杆在如图7.11所示位置自由倒下，求B点的轨迹方程。

【解】AB水平不受力，有

对任意时刻，对应φ有

结合式（1）—式（3）消除φ，得：

图7.11　习题7.7图

即为B点的轨迹。

【习题7.8】如图7.12所示，小球P沿光滑大半圆柱体表面由顶点滑下，小球质量为m2，大半圆柱体质量为m1，半径为R，放在光滑水平面上。初始时系统静止，求小球未脱离大半圆柱体时相对图示静坐标系的运动轨迹。

图7.12　习题7.8图

【解】（1）如图7.14所示，质心C的加速度

图7.13　习题7.9图

图7.14

可得

（2）由质心运动定理

求得

图7.15　习题7.10图

图7.16

【解】

（1）以整个系统为研究对象，建立图示直角坐标Oxy。求得系统的质心坐标

（2）以整个系统为研究对象，其受力分析如图7.16所示，在x方向系统只受点O约束力FOx作用，根据质心运动定理在轴x上的投影式得(https://www.xing528.com)

其中

则

故作用在处最大水平约束力为

【习题7.11】如图7.17所示，定子质量为m1的电动机在转轴上安装一质量为m2的偏心转子，偏心距为e。如电动机转子的角速度为ω，试求：（1）如电动机外壳用螺杆扣在基础上，求作用在螺杆上的最大水平剪力R；（2）如不用螺杆固定，求角速度ω为多大时，电动机会跳离地面？

图7.17　习题7.11图

【解】（1）电机系统为研究对象，在水平方向应用动量定理，有：

可得

（2）对y方向应用动量定理，有：

临界状态有：

解得：

【习题7.12】一凸轮机构如图7.18所示，半径为r，偏心距为e的圆形凸轮绕O轴以匀角速ω转动，带动滑杆D在套筒E中作水平方向的往复运动。已知凸轮质量为m1，滑杆质量为m2，求在任一瞬时机座地脚螺钉所受的附加动约束力。

【解】取凸轮机构为研究对象，设基座重m3g，重心在点C，建立图示定坐标Oxy。设运动初始时，凸轮轮心在轴x上点O的右边，如图7.19（a）所示。根据质心坐标公式，得

图7.18　习题7.12图

图7.19

将上述各量代入上式，并对时间t求2次导数，得

设螺钉总水平约束力为FRx，总铅锤约束力为FRy，如图7.19（b）所示。据质心运动定理有

比较方程组（1）和方程组（2），得任意瞬时机座螺钉的总约束力为

故总动约束力为

【习题7.13】如图7.20所示，水平面上放一均质三棱柱。此三棱柱上又放一均质三棱柱。两个三棱柱的横截面都是三角形，下面的三棱柱A比上面的三棱柱B重两倍。设三棱柱和水平面都为光滑平面。

（1）试列出系统的运动微分方程；

（2）求当三棱柱B沿三棱柱A滑至水平面时，两个三棱柱的位移；

（3）求水平面作用于三棱柱A的反力。

【解】（1）把A、B当成系统，由质心运动定理，得系统运动微分方程

（2）A的位移s，则b滑至地面的绝对位移为－（a－b－s），系统水平方向不受力，由质心水平运动守恒得：

图7.20　习题7.13图

（3）考虑B，沿斜面的加速度为gsinθ，θ为斜面的角度

联立求解，考虑到aAy＝0，mA＝3mB

得FN＝mBg（4－sinθ2）

【习题7.14】水流流经固定水道，水道截面逐渐改变，对称截面如图7.21所示。水流入的速度v0＝2m／s，水道进口截面积为0.02m2。水流出的速度v1＝4m／s，速度方向如图示。假设水是不可压缩的，水流是定常的，求水流作用在水道壁上的水平压力。

图7.21　习题7.14图

图7.22

【解】将水道中的水流作为研究对象，管壁对于流体的附加约束力为：

由不可压缩流体的连续性定律知：

将式（1）参照图7.22分别向x轴、y轴投影，得：

将v0＝2m／s，A0＝0.02m2，v1＝4m／s代入上式，得：

水流对管壁作用的附加动压力为：

F′x方向与Fx方向相反。

【习题7.15】如图7.23所示，水柱沿水平方向以速度v1射向涡轮的固定叶片。已知水柱的体积流量为qv，密度为ρ，水流出的速度v2与水平线成角α，求水柱对固定叶片的动水压力。

图7.23　习题7.15图

图7.24

【解】根据液体流过弯道时的动压力公式得：

建立如图7.24坐标，将其向水平方向投影得