大学物理：位置矢量、位移、速度及加速度

1.位置矢量

如图1—1所示，质点的位置可用直角坐标的三个分量（x，y，z）来确定，也可以用不依赖具体坐标系的矢量来表示，即由坐标原点O向P点作有向线段，并记作就是定量刻画质点所在空间位置的位置矢量，简称位矢。

图1—1　位移与速度

位矢与它在坐标轴上的分量（x，y，z）是一一对应的，分量又称投影量。如式（1—1）所示，以分别表示x，y，z轴方向上的单位矢量，则

矢量的大小与分量的关系为

由位矢与各坐标轴工，y，z的夹角α、β、γ，可以完全确定位矢的方向。位矢的三个分量与它的方向余弦的关系是

一般来讲，位置矢量或者它的直角坐标分量（x，y，z）都是时间t的函数，即

或者

式（1—4）和式（1—5）都称为质点的运动方程，前者是运动方程的标量形式，后者为矢量形式。显然，质点运动方程的标量形式和矢量形式等效描述质点的位置随时间改变的过程和具体方式。

质点在空间连续经过的各点连成的曲线称为质点运动的轨迹，表示质点运动轨迹的方程称为轨迹方程。运动轨迹不涉及时间，如果消除方程式（1—4）中的时间参数t，就得到质点的轨迹方程，即

例如，在太阳参考系中，地球的运动轨迹是一个椭圆。读者可以尝试以太阳为坐标原点建立直角坐标系，写出地球运动的轨迹方程。

2.位移

在一段时间内质点位矢的增量（我们规定增量是末量减去初量）称为它在该段时间内的位移。两个矢量加减运算的结果仍然是一个矢量，所以位移也常常称为位移矢量。如图1—1所示，在某时刻t，质点位于A点，其位矢为，在t+Δt时刻，质点移动到了B点，其位矢记为。则质点在Δt时间内的位移为

是由A点指向B点的矢量。在直角坐标系中

其中各分量的增量分别为

图1—1中矢量的长度表示位移的大小

3.速度和加速度

描述质点运动快慢和运动方向的物理量是速度ν，质点的位移Δr。和发生这段位移所经历的时间Δt的比，称为质点在这段时间内的平均速度

平均速度是矢量，它的方向与位移的方向一致。平均速度只是质点在Δt时间内位置的平均变化率。为了反映质点在某一瞬时的运动情况，还需引入瞬时速度的概念。瞬时速度ν定义为(www.xing528.com)

速度也是一个矢量。用Δs表示质点在Δt时间内沿轨迹所经过的路程，那么当Δt→0时，|Δr|和Δs趋于一致。于是有

即速率等于质点所经过路程对时间的变化率。质点运动经过的路程S，可通过速率对时间的积分得到，即

在一般情况下，质点的速度也是随时间变化的，为了描述速度的变化情况，需要引入加速度的概念。设质点在时刻t和t+Δt的速度分别为υA和υB，在Δt时间内的速度增量为

Δυ=υB-υA

则定义在这段时间内的平均加速度为

同理，质点在时刻t的瞬时加速度（简称加速度）a定义为

加速度是描述速度变化的物理量，也是一个矢量。如果速度的大小和方向都保持不变，则加速度为零；反之，不论速度大小或方向有变化，加速度就不为零。

在讨论质点的曲线运动时，常将加速度a分解成两个分量：一个沿曲线的切线方向，称为切向加速度at；另一个沿曲线的法向方向，称为法向加速度an，即

因而有

切向加速度at的作用是改变速度的大小，而法向加速度的作用是改变速度的方向。显见，在an=0，而at≠0时，质点做变速直线运动；在at=0，而an≠0时，质点做匀速率曲线运动。

可以证明，at和an的数值为

式中，ρ为质点所在点曲线的曲率半径。

在国际单位制（SI）中，速度的单位为米/秒（m·s-1），加速度的单位为米/秒2（m·s-2）。

如果质点做匀速直线运动，质点速率ν为常量，则由式（1—13）可得

如果质点做匀变速直线运动，质点加速度为常量，则对式（1—17）积分可得

将上式代入式（1—13），并积分得

由以上两式消去参数t，可得