大学物理：波函数及其统计解释

在波动学中，我们用表达式

来表示一个频率为v，波长为λ，沿x方向传播的平面简谐波的波动方程。可以将其写为复数形式

实际上式（10—12）为式（10—13）的实数部分。

讨论一个不受外力作用，且沿x方向运动的自由粒子的德布罗意波的波函数形式。根据德布罗意公式及频率与能量的关系，可得其波长和频率为

对于自由粒子，其能量E和动量p在运动中保持不变，则相应的波长λ和频率v为恒量，这样与自由粒子相联系的物质波就是一单色平面波，参考经典平面波的表达［式（10—13）］，自由粒子波函数可以表示为

将式（10—13）转化成y（x，t）→Ψ（x，t）即(www.xing528.com)

式（10—14）中Ψ称为自由粒子的波函数。式中，A称为波函数的振幅。对于沿任意方向运动的自由粒子，其波函数可以表示为

或

根据玻恩对物质波的统计解释，德布罗意波是概率波。粒子分布多的地方，粒子的德布罗意波的强度大，而粒子在空间分布数目的多少，是和粒子在该处出现的概率成正比。根据波的强度与振幅的平方成正比的关系可知：某一时刻，出现在某点（x，y，z）附近体积元dV中的概率与体积元中波函数振幅的平方和体积元体积的乘积成正比。因为波函数Ψ（x，y，z，t）为复指数函数，利用复指数函数的运算法则可得

必须注意：物质波与经典的机械波和电磁波有着本质的区别，机械波是机械振动在空间的传播，电磁波是电磁场在空间的传播，其波函数表示机械波和电磁波的规律，本身有确切的物理意义；而物质波是一种概率波，波函数是复数，本身无具体的物理内容，它的物理意义只能通过波函数绝对值的平方体现出来。