标准差和变异系数：作为表示变异度的统计数

平均数(mean value)是样本的集中表现,也就是样本的代表值。但其代表性的可靠程度,取决于各个变量之间的变异程度。因此在说明一个总体时,不仅需要描述其集中性的特征数,而且还需要描述其变异性的特征数。表示变异度的统计数较多,最常用的有标准差和变异系数。

标准差(standard deviation)是表示偶然误差的一种较好的方法,它可以表示单次测定值围绕平均值的密集程度,说明测定结果精确度的大小。其单位与测定值的单位相同。由样本资料计算标准差的公式为:

式中:S—— 样本单次标准差;

X—— 测定值;

X—— 样本平均值;

n-1—— 自由度。

S 值小,说明单次测定结果之间的偏差小,精确度高,平均值的代表性好。求出的标准差一般写在平均值之后,即±S。

如果比较不同样本变异的大小时,因单位不同或均数不同,不能直接用标准差进行比较,需要把表示变异程度大小的绝对值—— 标准差换算为相对值,才能够比较。一个样本的标准差占该样本平均数的百分率称为该样本的变异系数(coefficient of variation),用C.V.表示,计算公式为:

变异系数小,说明平均值的波动小,精确度高,代表性好。变异系数既受标准差的影响,又受平均数的影响。因此,在采用变异系数表示样本的变异程度时,应同时列举平均数和标准差,否则可能会引起误解。(https://www.xing528.com)

要判断多次平行测定结果的平均数之间的差异时,仅有单次测定标准差还不够,还必须计算样本平均数标准误差(简称标准误差),也称均数标准差。计算公式为:

式中:—— 均数标准差;

S—— 样本单次标准差;

n—— 样本测定值个数(样本容量)。

由上式可以看出,均数标准差与单次标准差成正比;与测定值个数的平方根成反比,即样本容量愈大,平均数的误差愈小。所以,在抽样测定中,增加样本容量(n)或增加重复次数,均能降低平均数的误差。

均数变异度的值愈小,平均数的误差愈小,代表性愈强。

均数标准差是重要的误差指标,在判断两个样本平均数差异的可靠性时,就是以样本均数标准差为标准,来衡量两个样本平均数之差,是它的多少倍(t),然后根据t值的大小来检验两个样本平均数差异的显著性。T 检验法的公式为: