辽河流域突发污染水质模型的建立方法

为建立一个确定性的水质模型，通常采用以下几个步骤：

①弄清楚研究的系统中各种现象的发生过程和相互关系。

②确定流体的输移率及各种动力学过程的转换速率。

③应用质量、动量、能量守恒等基本原理建立系统的控制方程。

④求解系统的方程组。

⑤用已有的一组资料对模型进行标定，调整所采用的基本参数，直到计算结果与实际资料一致。

⑥用另外一组条件不同的资料对模型进行检查和标定，直到计算结果满足精度要求为止。

⑦利用模型对水质进行预警预报。

一个模型计算结果的好坏同以下几个因素有很大关系：

①研究的目标是否明确，是否抓住了主要的问题。

②建立各种函数关系的知识状态如何。

③标定和验证模型的资料是否完整可靠。

④模型的操作规定是否有效和协调。

5.5.2.1　突发污染应急一维水质数学模型

（1）应用条件

污水引入水体后，以射流方式逐渐扩散，同时受到河水流动的作用而被推向下游，这股废水在中小河流很快扩展至全河断面，在入江大河则可能沿岸形成一条污染带。污染物与水体的混合过程可分为3个阶段，见图5－10。

图5－10　污染物与水体混合过程示意图

第Ⅰ阶段为垂向混合阶段，主要在水深方向混合，这一混合阶段的影响范围称为近区。污染物在近区的混合过程比较复杂，其水流方向的混合距离x，相对较小，通常为排放处河流水深的几十倍至100倍。该距离主要取决于排污口位置、排放形式、河道水力学特征以及污水与水体的物理和能量交换过程。

第Ⅱ阶段为掺混阶段，以垂向充分混合起至河流横向开始充分混合为止，水流方向混合距离x及浓度分布主要取决于源强、河流宽深及流态、流场的因素。

第Ⅲ阶段为完全混合阶段，污染物在横断面上开始充分混合后的区域。在该区域内污染物河流纵向的浓度变化，主要受污染物性质、河流流速、水体DO、水体微生物、泥沙等因素的影响。

在模型选择时，应根据研究对象的性质、系统的时空范围而选用不同维数的水质模型。在Ⅰ阶段，可用三维模型模拟，在Ⅱ阶段和Ⅲ阶段，可分别采用二维模型和一维模型。如果研究区域比较大，河流比较长，相对整个研究河段范围，Ⅰ、Ⅱ阶段无论在空间尺度和时间尺度上都比较小，有时甚至可以将一个城市作为一个点源来加以研究，这时选用一维模型是比较合适的。也可以通过式5－15估算排污水断面至垂直和横向两者都达到均匀混合所需的距离（相当于图5－15中的x1＋x2）：

式中：Lb——垂向和横向都达到均匀混合时水流动的距离，m；

B——河流平均宽度，m；

μ——水流平均流速（纵向），m/s；

Ez——河流横向扩散系数，m2/s。

当控制断面至排污口的距离超过Lb时，便可使用一维模型来描述污染物沿水流方向的浓度变化。当控制断面至排污口的距离小于Lb，应采用二维水质数学模型来模拟计算，当然本研究为了简化问题选用的是一维模型，假设控制断面至排污口的距离大于Lb。

（2）一维水质数学模型及解析解

河流对流扩散方程的解析解：

河渠中速度U为常数，对于保守物质，其对流扩散方程为：

设想一动态坐标x，以流速U运动，则x＝x－Ut，相对于该动态坐标，流体相当于是静止流体，其方程可写成：

对于非保守物质，同理取动态坐标x，对流扩散方程可写成：

在一维情况下，C＝C（x，t），方程简化为：

①瞬时点源排放。瞬时点源排放可描述为：在t＝0时，在原点单位面积上瞬时投入质量为M的污染物质，求任意时刻浓度沿x的分布，数学上可以表示为：

在数学物理方程中，这是一个线性的齐次的抛物型方程，其解为：

将x＝x－Ut代入，可得：

类似于扩散方程的解析解，二维、三维瞬时点源的对流扩散，连续源的一维、二维、三维对流扩散，有边界反射的对流扩散等情况的解析解均可用瞬时点源投放的解析解作为基本解，如：连续点源可看成一系列瞬时点源的叠加，根据线性抛物型方程解的性质，在不同方向的对流扩散相互不影响，二维、三维对流扩散问题解析解的形式为：C（x，y，z，t）＝Cx（x，t）Cy（y，t）Cz（z，t），有壁面影响的对流扩散问题和静止流体中扩散问题的求解方法与步骤完全一致。

②连续点源排放。对于连续排放的污染源，其浓度为C0（x0，t）时，可以把污染源看成是一系列瞬时排放源。这时，水质模型方程的边界条件为：在x＝x0处，C＝C0（x0，t），此时水质模型方程的解析解为：

式中：

在x＝x0处，有一连续排放的污染源，如果污染源排放时间为（0，τ），此时水质模型方程的解析解为：

（3）河渠稳态对流扩散方程的解析解

在稳态情况下，对流扩散方程为：

分以下几种情况介绍该方程的解析解：

①无扩散的非保守物质的对流，不考虑扩散作用时，方程可表达成：

当x＝0时，C＝C0、A＝ln C0，则有。

式中t＝x/U——输移时间。

②非保守物质扩散，这种情况一般发生在河口，仅考虑污染物的扩散，方程为：

方程的解析解为：

③非保守物质对流扩散。这种情况一般出现在河流的中间段，既要考虑对流作用，也要考虑扩散作用，方程为

这是一个常系数线性齐次二阶微分方程，其解为

④保守物质的对流扩散。当污染物为保守物质时，例如氯化物，系数K＝0，方程可以表示为：

方程的解析解为：

（4）有机污染一维水质模型的解析解

一维河流的化学耗氧量偏微分水质模型的基本方程为：

式中：C——x＝xi时的河水COD的浓度，其量纲为［ML－3］；

x——监测断面离排污口（x＝0）的河水流动距离，其量纲为［L］；

u——河水的平均流速，其量纲为［LT－1］；

k1——COD的衰减系数，其量纲为［T－1］；(www.xing528.com)

E——水质纵向离散系数，其量纲为［L2T－1］；

S——其他源汇项，其量纲为［ML－3/T－1］。

溶解氧（DO）和五日生化需氧量（BOD5）是描述河流水质有机污染的重要指标。1925年，Street－Phelps等在河流水质迁移转化方程的基础上建立了一系列的BOD5－DO模型。其中很多模型在实际工作中也得到了大量的应用。由于这类模型研究得较早，从模型结构而言，现已经研究得较透彻，但是，模型的参数识别技术等仍有待进一步研究。下面先简要描述一下Street⁃Phelps模型。众所周知，在稳态条件下，一维河流水质模型的基本方程为：

基于上述基本方程，Street和Phelps进一步提出了以下假设：

对于BOD5，只考虑好氧微生物参与BOD衰减反应并认为符合一级反应动力学：

对于DO，认为引起脱氧的原因是细菌对含碳有机物的分解，并认为复氧的主要原因是：氧亏和湍流作用，同时复氧速率与水体中的氧亏成正比，De＝OS－O。根据上述假定，一维稳态的BOD5－DO模型可用如下两个方程式加以表达：

在已知边界条件的情况下，忽略水质纵向离散系数E时，可以得到解的积分形式为：

式中：L，L0——x＝x和x＝0时的河水BOD的浓度，其量纲为［ML－3］；

OS，O0——x＝x和x＝0时的河水DO的浓度，其量纲为［ML－3］；

x——监测断面离排污口（x＝0）的河水流动距离，其量纲为［L］；

u——河水的平均流速，其量纲为［LT－1］；

k1——BOD的衰减系数，其量纲为［T－1］；

k2——河水的复氧系数，其量纲为［T－1］；

E——水质纵向离散系数，其量纲为［L2T－1］；

OS——河水在某温度下的饱和溶解氧浓度，其量纲为［ML－3］。

由式5－15可得到河水溶解氧亏的表达式如下：

式中：D，D0——x＝x和x＝0时的河水溶解氧亏的浓度，其量纲为［ML－3］。

用S－P模型方程推求临界氧亏和临界距离。

对式（5－16）求导，并令dD/dx＝0，可得临界距离：

临界氧亏：

临界溶解氧

式中：f＝k2/k1，为自净系数，为复氧系数与耗氧系数之比，反映水中溶解氧自净作用的快慢。临界溶解氧与流速无关，流速的增加只使临界点往下游移动，但不影响临界溶解氧的大小。

（5）重金属污染模型

根据环境水力学的研究，在水体中重金属污染物的组成和浓度的变化都是迁移转化的两个截然不同的过程作用的结果。对于迁移过程而言，又分分散性迁移和平流性迁移等。其中分散性迁移的程度是以控制体内的组成成分和浓度梯度为分布函数的。物质的平流性迁移是指由流体的主流造成的。另外，发生在某一控制体内的组分之间或各组分内部的反应的影响可叠加到迁移影响上去。

我们注意到溶解态的重金属其水动力学特性与水质点的特性是相同的，因此，研究重金属在河流中的运动规律时，也可直接运用流体力学中的一些基本定律，同时再考虑重金属的一些特性如沉降、悬浮等，便可以建立重金属随水－悬浮物－底泥等迁移转化方程：

设S′＝K1Cw，所以将上述公式转化之后，可以写为：

于是有：

在综合系数K里，包括了重金属的沉降、吸附、再悬浮等作用，所以，K是一个综合系数。

5.5.2.2　突发污染应急二维水质数学模型

（1）应用条件

如前节所述，如果所研究的水体（或一河段）主要处于第Ⅰ、Ⅱ阶段的混合过程，即控制断面至排污口的距离小于式（5－1）中的Lb时，污染物在河流横断面上未达到均匀混合，甚至出现岸边污染带，这时应采用二维水质数学模型。

（2）模型的基本方程及解析解

根据质量守恒定律，二维水质数学模型的基本表达式为

在稳态条件下，，上式可变形为：

对于应用于水质模拟的二维模型，会涉及有无边界影响两类情况。

①无边界水体边界点源的稳态排放。在均匀流场中，当强度为M的点源排放到无限宽的水体中，见图5－11：

在边界条件为：时，式（5－20）的解析解为：

式中：uy——y方向的流速分量，m/s；

Dy——y方向的扩散系数；

H——平均水深，m；

其余符号同前。

如果是顺直河道，在水深变化不大的情况下横向流速很小，近似为零；纵向扩散项远小于推流的影响，即可以忽略uy和Dx项，则式5－3可简化为：

相应的解析解为

图5－11　宽度无限水体中的点源排放

图5－12　污染物的边界排放

②在有边界水体连续点源的稳态排放。在有边界的情况下，污染物的扩散会因受到边界的阻碍而产生反射，这种反射可以通过设立虚源来模拟，即设想边界为一面镜子，镜子后面有一个与实际源强度相同，距离相同的虚拟反射源。当有两个边界时，反射会成为连锁式的。当污染源在边界上，对于宽度无限大的环境（图5－12），有：

可以看出，对于全反射的边界（不考虑扩散物质被边界吸附），污染物的浓度是没有反射时的2倍。

对于宽度为B的环境，则：

当污染源在两个边界的中间时，有：

边界的反射的影响随着距离的增加（n的增大）而衰减很快，当n＞4时，计算结果基本趋于稳定，计算时取n＝4～5就足够了。

如果污染源的位置既不位于边界，也不位于河流正中央，而是位于距岸y0（0≤y0≤B）的位置，即可以表达为：

瞬时点源排放时，无边界阻碍的情况下，边界条件为时，其解析解为：

有边界阻碍时，可将上式修正为：

式中：b——污染源到边界的距离，m。

当为岸边排放时，即b＝0时，上式可变为：