PCB光学检测中的图像变换模型

在上面的图像配准定义之中，空间几何变换函数一般用空间变换模型进行描述，是所有配准问题的核心问题，在具体应用之中，只有当配准的变换模型被确定之后，后续的处理和计算才能依次展开。图像变换模型决定了图像之间映射关系的类型，也决定了配准算法需要估计的搜索空间。常用的方式主要有两种，一种是全局变换模型，这种模型对整幅图像都有效，一般用到矩阵代数的知识，常见的变换有平移、缩放、旋转；另一种是局部变换模型，也就是说两幅图像不同区域之间存在多种变换，往往需要分块处理，这种变换模型更加复杂。本书中研究的是全局变换模型范畴的内容，常见的全局变换有以下几种［15］：

（1）刚体变换（Rigid Body Transformation），如图7.4（b）所示。

（2）仿射变换（Affine Transformation），如图7.4（c）所示。

（3）投影变换（Projective Transformation），如图7.4（d）所示。

（4）非线性变换（Nonlinear Transformation）。

图7.4　图像变换模型

其各自相应的适应条件如表7.1所示。下面分别对这四种变换模型进行介绍。

表7.1　图像变换模型（√代表满足条件）

1.刚体变换

如果第一幅图像中两点之间的距离映射到第二幅图像后仍然不变，则称该变换为刚体变换。刚体变换可分为平移和旋转。在二维图像空间中，点（x，y）经刚体变换至点（x'，y'）的映射公式为：

其中为平移量，为旋转矩阵，且有a2+b2=1，故往往也记为。

严格地讲，刚体变换矩阵具有3个自由度，理论上至少需要两对点对就可以确定。但在实际计算时，参数a和b并不是严格满足a2+b2=1的，为了更加近似地估计变换参数，四参数模型（a，b，Δx，Δy）更为普遍。刚体变换模型主要用来配准包含有刚性物体的图像，例如航拍图、扫描文档、建筑、车辆等图像。

2.仿射变换

如果第一幅图像中的一条直线经过变换后，映射到第二幅图像上仍然为直线，且平行直线仍旧被映射为平行直线，这样的变换称为仿射变换。该变换保持直线间的平行关系，但由于引入了缩放参数，故它不能保持直线段的长度和角度。二维图像的仿射变换公式为(https://www.xing528.com)

其中，点（x，y）和点（x'，y'）的定义与刚体变换相同。我们可以将变换矩阵M写成

可见仿射变换具有六个自由度，理论上至少需要三对不共线的点就可以解出所有的参数。

3.投影变换

如果第一幅图像中的一条直线经过变换后，映射到第二幅图像上依然为直线，但平行关系不再保持，则称这样的变换称为投影变换。投影变换具有8个参数，可以将成像设备的运动（如平移、旋转、缩放等）描述得更为全面。前面介绍的刚性变换模型和仿射变换模型就是投影变换模型的两个特例。使用齐次坐标，二维空间中投影变换的公式表示为

其中，w为缩放参数，点（x，y）和点（x'，y'）的定义与刚体变换相同。故变换矩阵M定义为

4.非线性变换

若第一幅图像中的一条直线经变换后，映射至第二幅图像上不再是直线，我们把这样的变换称为非线性变换。在二维空间中，点（x，y）经非线性变换至点（x'，y'）变换公式为

其中，F表示把第一幅图像映射到第二幅图像上的任意一种非线性函数。多项式变换是最具代表性的非线性变换，其数学定义如下：

这一变换非常适合于表征凹凸镜头或者拍摄扭曲的成像情况。

从上面的描述可知，针对不同的应用，我们可以选取不同的变换模型，变换模型的参数越多，描述图像配准问题就越详细，但是相应的计算复杂度也随之增加［16］。