立足核心素养，高效开展高中数学教学：数形结合的发展史

“数”与“形”是数学的两大基本概念，数学的发展史也主要是围绕“数”和“形”这两大概念产生、发展、变迁的历史。随着数学内涵的不断扩充，数学中最原始的两大对象——“数”与“形”的概念自身处于不断发展变化中。简单来说，“数”与“形”作为数学研究的两大基本对象，经历了一个由分到合，又由合而分的发展变化过程，即从最初的融合走向分离，继而又从分离走向融合的“分分合合”的发展过程。历史上，数形概念的发展变化可以概括为以下五个阶段：

（一）原始数学萌芽时期的数形的本能结合

“人类在蒙昧时代就已具有识别事物多寡的能力，从这种原始的‘数学’到抽象的‘数’概念的形成，是一个缓慢的、渐进的过程。”原始时期人类由于从事采集、狩猎等生产、生活实践，逐渐从经验中悟出发现一头牛、一匹马、一棵树、一个梨等之间存在着某种共性，从而抛开具体事物的物质属性，抽象出所有物群所共有的特性（即数）。从这个意义上来说，数的概念是人类通过实践从客观事物的众多属性中抽象出来的。正如德国数学家克隆尼克所言：“整数是被亲爱的上帝造成的，其他的一切都是人的工作。”此时，数与形是结合在一起的。例如，天上一个太阳，数1与太阳结合在一起；人的一只手有五个指头，数5与一只手的指头结合在一起等。不过，此时的“数”只限于数字，即自然数，而“形”却似乎定位于可以参与计数的客观事物本身。由于“数”与“形”是客观事物所固有的属性，此时人类对于“数”与“形”的概念还处于蒙昧的初级认知阶段，因而此时的数形结合是无意识的结合，结合的根本原因是人们无法对两者进行区分。这种原始数学萌芽时期的数形结合观既反映出客观世界事物之间的统一性与广泛的联系性，也打上了人类文明进程中认知水平的烙印。

随着人类生产活动进一步发展，社会交易活动变得更加频繁，计数得到的数目还需要以记录的形式保留下来或告诉别人，记数在社会生活中变成了必要。从历史发展来看，人类的记数形式经历了手指、石头、结绳、刻痕等方式。距今大约五千多年前，由于社会的发展，出现了书写记数，由此相应产生的记数系统又一次将数的概念（自然数）与形（图形、符号、实物等）联系起来。与前者不同的是，由于人类主动记数而表现出的数形结合是有意识的行为。记数系统的出现，使得数与数之间的书写、运算变得可能。于是，初等算术在几个古代文明区域发展起来，“形”与“数”这两大概念第一次发生了分离。不过，尽管在数学萌芽时期“数”与“形”的概念都已初步产生，即使“数”与“形”也进行了分与合交替式的发展，但此时由于“数”与“形”的外延十分有限，所以此时的结合是由于无法并且没有能力来区分，分离却是人类认知发展的必然规律。

（二）古希腊时期的数形结合的特征

巴比伦与古埃及人，在长期的社会生活、生产实践中，累积了丰富、直观、经验、实验的几何知识，随后将这些知识传到古希腊。泰勒斯、毕达哥拉斯学派等都试图用逻辑对它们加以组织。由于毕达哥拉斯学派特别重视对事物的定量研究，因而对很多事和现象都试图从数量的方面来进行说明和解释。于是，该学派认为，自己终于抓住了世界最终的奥秘：世界上的一切事物和现象都可以也只能通过数学加以解释。也就是说，宇宙的本质就在于数的和谐性。以此为依据，该学派认为“数是万物的本原”，所以在该学派的心目中的数就像我们心中的原子一样是不可再分的。接着，该学派运用原子论的观点，试图将几何也建立在算术基础上。首先由于他们认识到长度是各种几何量中的最为原始的基本量，所以对长度的度量是定量研究几何的起点与基础所在。因而，该学派大胆地提出假设：

由于线段是由点所组成的，所以任何线段只需经过有穷步的分割，就能达到不可分割的点，而点就像小珠子一样，具有一定的长度，从而认为任何两线段皆可共度，而且度量的结果只会出现整数与有理数。毕达哥拉斯学派在这一理论基础上，以算术理论成功地建立了几何学的基础，并证明了毕达哥拉斯定理、相似三角形基本定理以及长方形的面积公式等。毕达哥拉斯学派对于形数的研究也是该学派的一个亮点，对他们而言，“数”与“形”乃是一家。他们认为，宇宙万物都是整数，而每个整数都有形。因而，他们信奉：“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比。”所以，毕达哥拉斯学派将数看作世界的本原，他们在研究数学规律的过程中，试图以数来解释客观事物。对于他们的这种数学哲学观是否正确姑且不论，这些情况说明那时数形这两个概念是“结合”在一起的，甚至几乎可以认为是对等的。毕达哥拉斯学派这种“结合”方式观，就表面上而言，似乎更重于“数”，即以“数”来解释“形”。可是，这种现象的本质反映了他们对“数”认识的发展。“数”的作用除用作度量之外，有些整数与整数之比的和谐之美也成为希腊人的研究对象，并且被他们广泛地用于解释外界事物及其图形。可是，古希腊人狭隘的“数”的概念，使他们对“数”的认识仅局限于整数和有理数。后来，毕氏的门徒希帕苏斯却发现了不可共度线段，震垮了毕氏学派所建立起来的几何学。由于点的长度为零，使得度量必然出现无理数，几何学被迫从有穷与离散摆荡到无穷与连续的一边。总体上说，古典时期的“数形结合”的特点主要表现为以“形”表“数”，即以具体的几何图形来描述某些有限的代数运算。可是，一方面因为实数理论的完善直到19世纪下叶才宣告真正完成，使得古典时期的“数形结合”受制于人类文明发展进程；另一方面由于古希腊数学家执意让几何“一统天下”，以便保证公理化体系下的逻辑演绎的严密性。这两方面的原因导致了这种表现不具备可逆性。几何在代数化之后的两个整数之比只是作为比例中的比出现，甚至于人们并不把这些比看作是分数，这些都与前人所得的结论产生了冲突，对于这些事实数学家们是不会不知晓的。由此，我们可以发现“数形结合”的几何表现特征，同时还受制于研究者的数学哲学观。当研究者们所追求的数学哲学观与“数形结合”这一观念产生不一致时，往往会导致“数形结合”不仅不能得以真正体现，甚至还会产生妨碍“数形”的“结合”的效果。

（三）亚历山大时期的数形的发展(www.xing528.com)

“亚历山大的数学家同哲学断了交，同工程结了盟。”希腊在亚历山大时期，数学不仅保留了原有的研究内容，而且其应用的范围扩展到力学、光学、声学、实用算术以及测地学等。数学的应用范围扩大到上述自然科学各领域和社会生活领域，使得“数形结合”在更广阔的领域得到了极大的拓展。与此同时，在数学内部进行的“数形结合”也得到了极大的发展。这种发展表现为，首先是“数”与“形”本身的概念得到了发展。在古希腊时期，数学的发展历程可以概括为：从最初的以算术为中心，发展到以几何为中心，再发展到“数”与“形”的分离历程。“数”的概念由于借助了比例的方法，使其由自然数、整数扩展到了有理数（分数）、无理数等。借助算术的运算法则，使得初等代数也得到了发展，逻辑系统也使得几何学知识得以统整。其次，“数形结合”在希腊数学的后期主要表现在：将算术与代数知识运用于计算图形长度、面积以及体积大小。特别是三角学的问世，更表明了人们对几何问题研究定量化的渴求。这时，人们发现：运用现有的方法，由于“数”和“形”这两个概念得到了扩展，已经无法再在它们之间真正建立起一一对应关系。比如，由于几何图形所研究的空间特征和空间关系的处理无法数量化，所以只能作定性研究。再者，解方程也并不完全能用几何学的知识来加以解释，而解方程是初等代数的中心问题。总而言之，随着人类知识的丰富、认知领域的扩展，“数形结合”的适用领域由整体转向局部。甚至在某种意义上来说，在随后的很长一段时间内，代数所研究的“数”与几何所研究的“形”几乎是在它们各自的领域内独立地发展着。

（四）解析几何创立以后的“数形结合”

人类进入17世纪以后，随着生产的进一步发展，由于力学、天文以及技术的需要，对于圆锥曲线的研究变得非常重要而有现实意义，解析几何就是在这种背景下应人类实践的种种需要而产生的。解析几何的产生大大加强了“数”与“形”的结合，使“数”与“形”的结合产生了质的飞跃。由法国数学家笛卡尔所创立的解析几何的基本思想是：在直角坐标平面内，将每个几何点（形）与数对（数）建立起一一对应关系，顺理成章地使每条曲线同时与每个方程也建立起一一对应关系。这样，一个几何问题通过点的坐标就翻译成一个与之对应的代数问题，再采用代数的方法来解决这些代数问题，然后又把通过代数手段所得的结果翻译成相应的几何问题，也就是利用代数的手段来得到几何问题的解答。“随着解析几何的创立……不仅使过去的几何问题有了一个一般的解法和一个有力的工具——代数的工具，而且还扩大了几何的领域。另一方面，又揭露了代数与分析中的许多事实可以用几何来表现。例如，函数关系就可以用图形来表示。反过来，几何上的一些考虑又可以帮助解决代数与分析的问题。”

（五）近代与现代数学中的数形结合

对于18世纪以来的数学，或许我们只能牵强地认为，“数”就是包括分析学、数论以及以代数方程等为主题的代数学，而“形”就是包含了部分射影几何内容的解析几何、欧几里得几何、微分几何等几何学。然而，解析几何并非只是单纯地对“形”进行研究。因而，解析几何从其诞生之日开始算不上完全意义上的几何学。在此以后，代数、几何与分析可以说几乎是紧密联系、捆绑式地发展。因为解析几何的中心思想是把代数方程与曲线、曲面等图形联系起来，而微分几何是利用微积分的手段来研究曲线、曲面随着点瞬时变化而逐渐变化的性质。所以，“数”与“形”在局部相关领域联系就更加紧密。这种情况下，“形”的作用主要是提供研究的对象以及辅助思考的工具，而“数”的作用则是为研究提供必要的工具与方法，更新了视角。在近现代数形结合思想的推动下，“数”的运用使得研究向更深入、更抽象的方向引领。不过，在另外一些领域，如代数学内部，其研究的对象却与“形”的联系越来越遥远。“有了19世纪的变革与积累，20世纪的现代数学不再仅仅是代数、几何、分析等经典学科的集合，而已成为分支众多的、庞大的知识体系，并且仍在继续急剧地发展之中。”

现在面对整个数学领域内越来越多的数学分支与日益兴起的综合交叉学科，“数”与“形”的确切含义已经很难予以准确解释，同时数学家们所关注的“联系”“结合”也不再仅仅是“数”与“形”这些具体的数学对象，对他们来说关注不同的数学思想与数学方法之间的相互融合更具有实际意义。由于现代数学工具大部分兼具“数”和“形”双重特征，“数形结合”已经作为一种基本数学思想，被完全地、彻底地熔融到数学的发展中。