高等数学中导数的引进-高等数学

前面讨论了极限运算，这是因为高等数学中的一切运算都与极限有关.一元函数的“求导”运算，是高等数学中的主要运算之一.“求导”就是获得函数的“导数”.导数概念是17世纪时从两个问题产生的，这两个问题就是“切线”问题和“速度”问题.

（1）切线问题

考虑由方程y=f（x）表示的曲线L，在L上取两点P0（x0，f（x0））和P（x，f（x））.连接P0和P的直线T是L的一条“割线”，它的斜率是

当x向x0移动时，点P沿着L向点P0移动，割线T也随着变化，它的斜率tanφ也随着变化.如果当x→x0时，tanφ有极限tanα，如图2.1所示.

将通过点P0以tanα为斜率的直线T0称为曲线L在点P0的“切线”，也就是说，切线是割线的极限位置.即切线的斜率归结为函数的改变量比上自变量的改变量，当自变量改变量趋于0时的极限.

图2.1

（2）速度问题

对于速度，我们并不陌生.一辆汽车在3h内行驶了150km，它的速度就是(www.xing528.com)

但这只是汽车在3h内的平均速度.实际上，汽车在这3个小时的行驶中，可能有时较快，有时较慢.显然平均速度并不能准确反映汽车的运动状态，需要把时间区间缩短来进行研究.

为不失一般性，考虑一个质点作直线运动，它的位置x与时间t的关系记为x=f（t），则质点由时刻t到t′这段时间内的平均速度，就是

当t′非常接近t，即t′-t很小，质点在很短的时间内快慢变化不会很大，可以近似地看作等速的，可以近似地反映质点在t时的运动状态（质点在t时的瞬时速度），即

t′-t越小，近似程度越好

即瞬时速度同样归结为了函数的改变量比上自变量的改变量，当自变量的改变量趋于0时的极限.