高等数学-定理连续性及可导性

定理3.11

若①函数f（x）和g（x）在（a，a+δ）（δ＞0）上有定义，并且②f′（x）和g′（x）在（a，a+δ）上存在，g′（x）≠0，并且=A（包括A=∞的情形），则

证明 由f′（x）和g′（x）在（a，a+δ）上存在，故f（x），g（x）在（a，a+δ）上连续.

所以F（x）在［a，a+δ）上连续.

∀x∈（a，a+δ），则F（x），G（x）在 [a，]x上连续，在（a，x）上可导，且在（a，x）上G′（x）=g′（x）≠0.由柯西中值定理，存在ξ∈（a，x），有

而∀x∈（a，a+δ），F（x）=f（x），G（x）=g（x），所以

这就是罗必塔法则.由罗必塔法则，待定型型的极限被转化为分子与分母同时求导后再求极限.

对于型也有类似结论.

定理3.12(www.xing528.com)

若①函数f（x）和g（x）在（a，a+δ）（δ＞0）有定义

②f（x）和g（x）在（a，a+δ）都可导，g′（x）≠0，且=A（包括A=∞的情形），则

定理3.7和定理3.8是对x→a+0进行的证明，若是x→a-0，x→a，x→∞，x→+∞，x→-∞等情形，法则仍然成立，只要是自变量同一变化过程就行.

例3.47 求

解 它是待定型，由罗必塔法则，有

用了一次罗必塔法则后，如果所得到的极限仍是型或型，若满足罗必塔法则条件，则可继续使用罗必塔法则.在计算的过程中，若已能用前面的知识简便求得极限，虽可继续使用罗必塔法则，也不必强求使用罗必塔法则.

持续使用罗必塔法则，直至分子中xα-k的指数α-k≤0，由函数极限的运算法则得到最后结果.