定理5.9 设函数f（x）在区间［a，b］上连续，若函数x=φ（t）满足下列条件：
（1）φ（t）在［α，β］（或［β，α］）上具有连续导数；
（2）φ（α）=a，φ（β）=b，且当t在［α，β］（或［β，α］）上变化时，x=φ（t）的值在区间［a，b］上变化，则
式（5.19）称为定积分的换元积分公式.
证明 由定理条件可知，式（5.19）两端的被积函数都是连续的，因此，它们的原函数都存在.所以，式（5.19）两端的定积分都可用牛顿-莱布尼茨公式来计算.设F（x）是函数f（x）在区间［a，b］上的一个原函数，则有
另一方面，对F（x）与x=φ（t）的复合函数F［φ（t）］求导，得
这说明F［φ（t）］是f［φ（t）］φ′（t）的一个原函数，因此有
故
由定积分换元式（5.19）知，应用换元公式时要注意：
①用变量代换x=φ（t）将变量x换成新变量t时，要将x的积分限a，b换成t的积分限α，β；
②与不定积分的换元法不同的是，在求出f［φ（t）］φ′（t）的原函数Φ（t）后，不必把Φ（t）变换成x的函数，只要把新变量t的上下限代入Φ（t）后相减即可.
例5.15中的积分还可以这样来计算，可用凑微分法（不定积分的第一换元法）直接求得被积函数的原函数，而不必明显地写出新变量t，这样定积分的上下限就不需要变更.
例5.18（奇、偶函数定积分的性质） 设f（x）在区间［-a，a］上连续，试证：
证明 因为(www.xing528.com)
对于积分
作代换x=-t，得
从而
（1）若f（x）为偶函数，f（-x）=f（x），于是f（-x）+f（x）=2f（x），则
（2）若f（x）为奇函数，f（-x）=-f（x），于是f（-x）+f（x）=0，则有
以后在计算奇函数和偶函数在关于原点对称的区间上的积分时，可利用上述性质简化计算.
解 因为xe|x|+x4sin3x是奇函数，e|x|是偶函数，所以
例5.21（周期函数定积分的性质） 设f（x）是以T为周期的连续函数，a，b为任意实数，试证
又因为f（t）是以T为周期的函数，有f（t+T）=f（t），所以
故
此例说明，周期为T的连续函数，在任意一长度为T的区间上的积分值均相等，而与区间的起点无关.
移项合并后得
利用例5.18和上述结论，得
免责声明：以上内容源自网络，版权归原作者所有，如有侵犯您的原创版权请告知，我们将尽快删除相关内容。
