高等数学：定积分经济应用

前面已介绍过边际函数在经济学中的应用，例如边际成本为成本函数c（x）的导函数c′（x），而边际收入为收入函数R（x）的导函数R′（x）.由于积分是微分运算的逆运算，所以定积分在经济学中也有许多应用.

（1）最大利润问题

例6.23 设某生产企业固定成本为50，边际成本和边际收入分别为c′（x）=x2-14x+111，R′（x）=100-2x，试求其最大利润.

解 首先求出获得最大利润的产量.由于总利润L（x）=R（x）-C（x）

L′（x）=R′（x）-C′（x）=（100-2x）-（x2-14x+111）

要想L（x）取得最大值，必须L′（x）=0，即R′（x）=C′（x），这就是经济学中的重要命题：总利润的最大值在边际收入等于边际成本时取得.所以应有x2-14x+111=100-2x，解出x1=11，x2=1.

又L"（x）=12-2x，由极大值的充分条件L"（x）＜0，，得到x＞6，所以只有x1=11满足条件，即x1=11是获得最大利润的产量，于是所求最大利润为(www.xing528.com)

（2）消费过剩

需求函数p（x）是：制造商出售x单位的商品必须要收取的价格.通常，销量越大，价格越便宜.所以，需求函数为减函数.如果X为现有的商品数量，则P=p（X）为当前售价.

经济学家称为商品的消费过剩.消费过剩表示消费者以价格P购买商品所节省的金额，和需求量X有关.

例6.24 某产品的需求函数为p（x）=1200-0.2x-0.0001x2，单位为美元，求销量为500时的消费过剩.

解 由于产品的销量为X=500，对应的价格为

因此，所求消费过剩为