非线性偏微分方程的对称性及守恒律研究成果

这一小节，依然是基于李对称分析考虑该方程。基于李对称分析方法，假定下面的无穷小变换，

相应的向量场是

目的是求向量场的系数函数τ（x，y，t，u），ξ（x，y，t，u），η（x，y，t，u） 和 ϕ（x，y，t，u）。

此时，V需要满足下面的李对称条件

这里∆1=ut+auux+b（uxxx+uyyy）+c（uxyy+uxxy）=0。

利用三阶延拓公式，可以得到

这里

Di依然是全导数算子

这里（x1，x2，x3）=（t，x，y），（u1）=（u）。

考虑到李对称方法，可以推出

这样一来，对称代数由下面的五个向量场构成：

容易验证，对称算子构成了封闭的李代数。表1给出了它们的交换关系。这里[Vi，Vj]是交换李代数[48]：

表1　李代数的交换表

[Vi,Vj]=ViVj−VjVi.(https://www.xing528.com)

可以发现，它们构成了五维李代数。为了从已知解去得到新解，要从相关的对称去发现李对称群。为了得到李对称群，需要求解下面的初值问题：

这里 ∊ 是参数，并且

所以我们可以得到李对称群

选择不同的ξ，τ η，和ϕ，可以得到下面的群

g1:(x+ε,y,t,u),

对称群g1，g2和g3表明方程的时空不变性，g4是著名的标量对称群，利用上面的不变群gi（i=1，…4），可以得到相应的新解

这里∊ 是任意的实参数。

如果取文献[104]里的单孤立子解作为种子解，

利用不变群g5，可以得到下面的新解

如果取文献[104]里的奇异孤立子解作为种子解，

再次利用不变群g5，可以得到新解如下

显而易见，选择任意的常数，可以得到大量丰富的新解。

注记 利用已知解，可以得到大量的新解，从而对于[104]来说，利用他们得到的解，我们可以得到大量的新解，推广了相应的结果。