大学物理实验：随机误差的正态分布规律

设在一组测量值中，n次测量的值分别为x1，x2，…，xn。标准化的正态分布曲线如图2.2.1所示。图中横轴Δx=xi﹣x0表示测量随机误差值，纵轴表示对应误差出现的概率密度f（Δx），有

其中

σ称为正态分布的标准误差，是表征测量分散性的一个重要参量。

图2.2.1　随机误差的正态分布

图2.2.1所示曲线就是概率密度分布曲线。曲线和x轴之间的面积为1，可以用来表示随机误差在一定范围内的概率。图中阴影部分的面积就是随机误差在±σ范围内的概率，即测量值落在（﹣σ，+σ）区间的概率为P。由定积分计算可得出，其值P=68.3%。如将区间扩大到2倍，则x落在（﹣2σ，+2σ）区间中的概率为95.4%。x落在（﹣3σ，+3σ）区间中的概率为99.7%。

归一化曲线下的总面积表示各种误差出现的总概率，为100%。在区间（﹣3σ，+3σ）内的置信概率为99.7%，也就是说在1000次测量中，只有3次测量值落在该曲线之外，而一般的测量次数为5～10次，几乎不可能出现在区间之外，所以将3σ称为极限误差，也称误差限。(https://www.xing528.com)

由上述可以看出，以前介绍的Δx是实在的误差值，是真误差，可正可负；而标准误差不是测量值的实际误差，也不是真实的误差范围，它只是对一组测量数据可靠性的估计。标准误差小，测量的可靠性就大一些，反之测量就不大可靠。由于标准误差随测量次数n的变化小，且具有一定的稳定性，而且多数计算器都有计算标准误差的功能，所以在科学论文及实验中都用标准误差去评价数据。σ值小，曲线陡且峰值高，说明测量值的误差集中，小误差占优势，各测量值的分散性小，重复性好；反之，σ值大，曲线较平坦，各测量值的分散性大，重复性差。

图2.2.1中，服从正态分布的随机误差具有以下几个特点：

①有界性：在一定测量条件下，绝对值很大的误差出现的概率趋于零。

②单峰性：绝对值小的误差出现的概率大于绝对值大的误差出现的概率。

③对称性：绝对值相等的正误差和负误差出现的概率相等。

④抵偿性：当n→∞时，曲线完全对称，因此随机误差的算术平均值随着测量次数的增加而趋于零，即