【摘要】：图2-1 取区间上等间距的离散点要利用函数u在这些点上的取值u来计算u′和u″的近似值。由于xi+1在xi的前面，所以称之为1阶导数的向前差商。另外，式（2-2）的局部截断误差为O，从理论上讲，h越小则精度越高，但实际上当h过小时，u和u将是两个十分接近的数，它们相减会造成有效数字的损失，引起误差增加。
数值微分是根据函数在一些离散点的值计算它在某点的1阶导数或高阶导数近似值的方法。先从一个最简单的例子开始，在区间[a,b]上取一系列间距为h的点：x0,x1,…,xN，如图2-1所示。
图2-1 取区间上等间距的离散点
要利用函数u(x)在这些点上的取值u(xi)来计算u′(xi)和u″(xi)的近似值。最直接的办法就是通过泰勒公式将u(xi+1)在x=xi处展开，整理可得：
将上式右端的小量O(h)作为局部截断误差忽略掉，可得计算u′(xi)的公式（2-2）。由于xi+1在xi的前面，所以称之为1阶导数的向前差商。
注意上式中的i是不能取到N的，除非还有条件给出u(xN+h)的值。或者，对于周期为b-a+h的周期函数u(x)，可得u(xN+h)=u(x0)，那么i=N时有u′(xN)=[u(x0)-u(xN)]/h。另外，式（2-2）的局部截断误差为O(h)，从理论上讲，h越小则精度越高，但实际上当h过小时，u(xi+1)和u(xi)将是两个十分接近的数，它们相减会造成有效数字的损失，引起误差增加。所以h的选取不可过大或过小。
同理，还可以得到1阶导数的向后差商：
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类似地，分别将u(xi+1)和u(xi-1)在x=xi处做泰勒展开，相减并整理，得：
忽略小量O(h2)，就是1阶导数的中心差商公式，它的精度要高于向前差商和向后差商：
此外，分别将u(xi+1)和u(xi-1)在x=xi处做泰勒展开，相加并整理，得：
忽略小量O(h2)，即为2阶导数的中心差商公式：
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