毕达哥拉斯及数学艺术史

言必称希腊

“言必称希腊”出自毛泽东的《改造我们的学习》,是他在1941年延安整风运动时写的,当时抗日战争正处于相持阶段,毛泽东连续作报告和写文章批判以王明为首的教条主义和经验主义。言下之意是,他们只懂得希腊,不懂得中国,只知背诵马列主义而数典忘祖。有一张著名的照片流传下来:毛泽东站在窑洞前演讲,头戴八角帽,身穿满是补丁的衣服,茶杯和烟盒放在一张木凳子上,右手扳着左手的指头。这张照片所拍的,正是那个时期他作报告的场景。

很久以后我才了解到,“言必称希腊”是熟读经书的毛泽东借用了《孟子·滕文公上》里的语句,“孟子道性善,言必称尧舜”。显而易见,孟子的弟子们在颂扬老师“性善论”的同时,也褒奖了他的谦逊。历史上有两个滕文公,分别是春秋时代和战国时代滕国的国君。此处是指战国时代的滕文公,《滕文公》是《孟子》七篇之五。不知为何,自学生时代起,在我的头脑里,“言必称希腊”一直是褒义的,而并非毛泽东批评的教条主义或经验主义。那时的我不知出处,把它理解成:每种学问,无论自然科学还是社会科学,最后都能追溯到古希腊。

的确,在包括数学和艺术在内的许多方面,古希腊都是西方文明的发祥地。以任何标准来衡量,希腊文明的成就均是显著的甚或无可比拟的,其流传下来的遗产难以估量。即便今天,这份遗产仍源源不断地吸引着世界各国的游客,对希腊经济大有裨益。然而,在希腊文明的初创时期,却并非一帆风顺。从旧石器时代起,希腊本土及其诸多岛屿便有人居住了,但据考古学家的发现和分析,在公元前3000年到前1200年的青铜时代,希腊文明与古埃及和古巴比伦等文明相比,尚且是微不足道的。

到了公元前2000年左右,在希腊南端的克里特岛上出现了一种文明,被后人称作米诺斯文化,也被称作爱琴海文化。他们没有创造出文字,却已经开始了海上贸易。但到公元前1400年前后,米诺斯文化因自然灾害和征战而荡然无存。在米诺斯文化出现的同时,一支印欧游牧民族开始进入巴尔干半岛的南端,即希腊本土。大约四个世纪以后,产生了迈锡尼文化,并深受克里特文明的影响。又过了四个世纪左右,另一支印欧民族多利安人进入希腊。

公元前1000年左右,希腊出现了被后人称为希腊字母的字母体系,这是现代欧洲一切字母的直接或间接的源泉。但希腊字母并非希腊人的创造,而是从腓尼基字母演变来的。腓尼基人居住在今天中东地区的黎巴嫩,他们创造的字母体系派生自北闪米特语言。为了更有效精确地书写非闪米特语言,希腊字母有所改进。最重要的改变是,把原先闪米特字母中的五个辅音字母改为元音字母,即a,e,i,o,u。希腊字母又分为两支,即东部的爱奥尼亚字母和西部的卡尔西迪字母,前者当时稍占上风,后者成为包括拉丁字母在内的欧洲其他语言的先祖。

有了字母和语言,希腊文学随之诞生。现代西方世界的大多数文学门类均是由古希腊人发明或由他们定型的。例如,神话,史诗、哀歌和抒情诗,戏剧、牧歌和历史(与之相对的是编年体纪事),哲学和属于修辞学分支的雄辩术。这其中,史诗出现得较早,它是表现人物和事件的长篇叙事。哀歌有所不同,可以表达个人的看法,出于爱情或战争的原因。后来,哀歌又成为抒情诗的沉思性先导。也只有史诗和哀歌、抒情诗的代表性人物和作品出现在我们将要叙述的智者泰勒斯和毕达哥拉斯之前。

在希腊史诗中,最有代表性的无疑要数荷马的《伊利亚特》和《奥德赛》,它们是千百年来口头传说的成果。至今人们仍无法确定,是否真有一个叫荷马的盲诗人写了这两部作品。同样不能肯定的是,它们是在何时写成的。《伊利亚特》是特洛伊战争故事的一个插曲,伊利亚特的意思是“伊利昂的故事”,伊利昂正是特洛伊的别称。

而《奥德赛》是这个故事的续篇,讲述了希腊英雄奥德修斯战后返家的冒险故事。即使对现代读者来说,史诗中图画般的生动语言、戏剧性的冲突和英雄人物仍给他们以强烈的印象。

荷马塑像,２世纪罗马人仿作,现藏于大英博物馆

值得一提的是,引发特洛伊战争的美女海伦只在史诗开头和结尾两次出场。而《伊利亚特》开篇的第一句话是“阿喀琉斯的愤怒是我的主题”,阿喀琉斯是希腊联军主将,他有过两次愤怒。一次是统帅阿伽门农贪恋女色,遭阿波罗惩罚,被施以瘟疫;另一次是战友被杀、盔甲丢失,联军被特洛伊人追杀,他与阿伽门农和解,出战杀死敌军主将赫克托耳。而在《奥德赛》中,主人公两次捆绑手下。一次是漂过一处海岸,有些船员吃了“忘忧果”,流连忘返,奥德赛把他们绑在船上继续航行。随后他们来到一座海岛,被独眼巨人囚禁在山洞里,奥德赛用计刺瞎他的另一只眼,把同伴绑在公羊的肚子下面,逃出了洞口。正是这位盲老人每天坐在洞口,早晚用石子计数羊群,他的故事告诉我们,数学起源于牧羊人计算羊群的只数。

吉尔伽美什石像,现藏于巴黎卢浮宫

比荷马史诗更早的是古代苏美尔人的史诗《吉尔伽美什》,这部用楔形文字写在泥板书上的史诗,是19世纪中叶英国亚述学者发现的。吉尔伽美什是乌鲁克城(Uruk)的统治者。乌鲁克城位于今天伊拉克幼发拉底河下游右岸,乌鲁克文化大约是在公元前3400年至公元前3100年,乌鲁克人创造了图画文字,这是后来楔形文字的雏形。吉尔伽美什作恶多端,人民苦不堪言,天神派来半人半兽的勇士恩奇都。两人搏斗难分胜负,于是结拜为兄弟,一同为人民造福,成为民众爱戴的英雄,在雪松林里打败了怪兽洪巴巴。

有些学者认为,《圣经》里有关大洪水等关键主题演变自史诗《吉尔伽美什》,而史诗中出现的大量的关联性,又显示它与后来的《奥德赛》之间存在微妙的关系。除了荷马史诗,赫西奥德的教育史诗《神谱》和《工作与时日》也流传后世。《神谱》中出现了蛇发女妖美杜莎,凡看见她眼睛的都会被石化,《美杜莎之筏》是19世纪法国画家籍里柯(Theodore Gericault,1791—1824)的名作;《工作与时日》则常被现代诗人用作标题。赫西奥德一生少有远行,他大约生活在公元前8世纪,从公元前5世纪开始,学者们便争论他和荷马到底谁的生活年代更早,但始终没有明确的结论。

在《神谱》中,从混沌之神卡俄斯(Chaos)到大地女神盖娅(Gaia)、天神乌兰诺斯(Uranus)、时间之神克洛诺斯(Cronus),再到宙斯(Zeus)等奥林匹斯诸神,他们之间的关系清晰明了,一点也不混乱,每个神都有奇特的故事。例如,时间之神是如何打败父王天神的呢?当天神与地神母亲在床上时,他用一把镰刀割掉了父亲的生殖器,往海里一扔,结果海上出现了一堆泡沫,从这堆泡沫中诞生了爱神阿芙洛狄忒,在罗马神话里叫维纳斯,文艺复兴时期波提切利的油画《维纳斯的诞生》即取材于此。这似乎预示着,后来希腊智者的逻辑思维能力有着神话的渊源。

大约公元前700年,在今天的希腊、小亚细亚(土耳其亚洲部分西部)和意大利南方,古希腊文明以一种松散的城邦联合体形式开始出现,不仅海上贸易繁荣昌盛,而且还致力于文学、艺术、政治、哲学和科学的发展。虽说希腊文明不如巴比伦文明和埃及文明出现得早,但游牧民族出身的希腊人勇于开拓,他们不愿意因袭传统,更喜欢接触并学习新鲜的事物。而对埃及人和巴比伦人来说(正如英国哲学家罗素所言),宗教的因素约束了智力的大胆发挥,他们更关心死后的日子和现世的福利,也因此记录星辰的运动。

另一方面,由于希腊国土崎岖不平,贫瘠的山脉阻碍了陆路交通,平原的面积非常有限。随着人口不断增加,有一部分人便渡海去到新的殖民地。从西西里岛、南意大利到黑海之滨,希腊人的定居点星罗棋布。既然移民如此众多,返乡探亲和贸易往来便不可缺少,于是有不少航线连接东地中海和黑海的港口。加上先前由于地震灾害移居到小亚细亚的克里特人,希腊人与东方的接触机会越来越多,尤其是与埃及和巴比伦这两大河谷文明之间的来往甚多。

当大批游历东方的希腊商人、学者返回故乡,他们带回的不仅有史诗《吉尔伽美什》里的故事片段,还有一些数学知识。在被山脉和海洋分割的各个城邦社会里,两个主要阶层——贵族和平民彼此并不截然分开,在战争中同属一个国王领导,而这个国王只是某个贵族家庭中的首领。这样一来,便容易产生民主和唯理主义氛围。表现在经验的算术和几何法则上,则容易被上升到具有逻辑结构的论证体系中。人们常常这样发问:“为何等腰三角形的两底角相等?”“为何圆的直径能将圆两等分?”

七贤之首

在古希腊,数学家和哲学家层出不穷,就如同文艺复兴时期亚平宁半岛的作家和艺术家一样。1266年,即大诗人但丁降生佛罗伦萨的翌年,这座城市近郊又诞生了那个世纪最杰出的艺术家乔托(Giotto,约1266—1337),他的父亲是个农民。一般认为,艺术史上最伟大的时代,就是从乔托开始的。文艺复兴时期的意大利艺术史家瓦萨里认为,乔托脱离中世纪而创造了“杰出的现代风格”。按照英国艺术史家贡布里奇爵士的说法,在乔托以前,人们看待艺术家就像看待一个出色的木匠或裁缝一样,他们甚至经常不在自己的作品上署名;而在乔托以后,艺术史就成了艺术家的历史。

泰勒斯头像

相比之下,数学家出道要早得多,第一个扬名后世的数学家是希腊的泰勒斯(Thales of Miletus,约公元前625—前547),他出生在小亚细亚的米利都城(今土耳其亚洲部分西海岸门德雷斯河口附近),生活的年代比乔托早了18个世纪。泰勒斯被誉为前苏格拉底时代的“希腊七贤”之首,其余六位是雅典的梭伦(Solon)、斯巴达的开伦(Chilon)、罗德岛的克里奥布拉斯(Cleobulus)、科林斯的佩立安得(Periander)、累斯博斯的庇达克斯(Pittacus)和同属小亚细亚的拜阿斯(Bias)。

由于年代久远,加上当时人们的思想只能口头传播,除了泰勒斯和梭伦以外,其余五位贤人的生平事迹皆不可考。我们只知道他们都是政治家和统治者,每位只有一两句格言流传下来。例如,拜阿斯的名言是“人多手脚乱”,佩立安得的名言是“行事前须三思”,庇达克斯的名言是“抓住时机”,克里奥布拉斯的名言是“凡事中庸”。“凡事中庸”与梭伦的名言“避免极端”一样,与中国儒家思想有相近之处;而佩立安得的名言接近我国的古语“三思而后行”,后者最初说的是鲁国大夫季文子,可是,连孔子都不赞成他的患得患失。

米利都是当时希腊在东方最大的城市,也是爱奥尼亚的12个城邦之一,居民大多是来自克里特岛的移民(米利都本是克里特的一个地区名)。在爱奥尼亚,商人统治代替了氏族贵族政治,思想较为自由和开放,产生了多位文学界、科学界和哲学界的著名人物,相传诗人荷马和历史学家希罗多德也来自爱奥尼亚。泰勒斯早年经商,曾游历埃及和巴比伦,学会并掌握了那里的数学和天文学,除此以外,他研究的领域还涉及物理学、工程技术和哲学。事实上,希腊七贤中,只有泰勒斯是一位渊博的学者。

关于泰勒斯的生平,我们主要依赖于后世哲人的著述。《泰阿泰德篇》是古希腊哲学家柏拉图的一篇重要作品,泰阿泰德(Theaetetus,约前417—前369)是苏格拉底的学生,在老师去世时在场。他是数学家兼哲学家、立体几何的创立者,是《泰阿泰德篇》(还有柏拉图另一部著作《智者篇》)的主要对话者,此篇探讨的“知识”的本性,也是对老师和师兄的纪念。书中记述了泰勒斯的一桩轶事,有一次他仰观天象,不小心跌进沟渠,一位美丽的女仆嘲笑他说,近在足前都看不见,怎会知道天上的事情呢?对此泰勒斯并未回应,倒是梭伦的发问刺痛了他。

泰勒斯可能是许许多多终身独居的智者中的第一人。据古罗马传记作家普鲁塔克记载,有一次梭伦到米利都探望泰勒斯,问起他为何不结婚,当时泰勒斯未予回答。几天以后,梭伦听闻儿子不幸死于雅典,这令他悲痛欲绝。这时泰勒斯笑着出现了,在告知梭伦消息纯属虚构以后,表明自己不愿娶妻生子的原因,就是害怕面对失去亲人的痛苦。据说泰勒斯中年时,母亲催促过,答曰:“还没到那个时候。”后来步入晚年,老母亲又催婚,答曰:“现在已过了那个时候。”

说起梭伦,他是一位政治家、改革家、立法者,公元前594年,出任雅典城邦的第一任执政官。此外,他还是一位成功的商人,喜欢游历名山大川,考察社会风情,甚至在诗歌创作方面也颇有成就,有“雅典第一位诗人”的美誉。虽然梭伦的诗歌主要赞颂雅典城邦和法律,但他也会抨击、谴责贵族的贪婪、专横和残暴,坚信道德胜于财富。例如,梭伦曾在诗中写道:“作恶的人每每致富,而好人往往受穷;可是我们不愿意,把道德与财富交换;因为道德是永存的,而财富每天更换主人。”

第一个留名的数学史家欧德莫斯(Eudemus of Rhodes,约前4世纪下半叶)是亚里士多德的得意门生,可惜所著算术史和几何史均已失传。他曾写道:“……(泰勒斯)将几何学研究(从埃及)引入希腊,他本人发现了许多命题,并指导学生研究那些可以推出其他命题的基本原理。”传说泰勒斯根据人的身高和影子的关系测出埃及金字塔的高度。柏拉图学园晚期的导师普罗克洛斯(Proclus,410—485)则写道:“泰勒斯证明了平面几何中的若干命题:圆的直径将圆分成两个相等的部分;等腰三角形的两底角相等;两条相交直线形成的对顶角相等;如果两个三角形有两角、一边对应相等,那么这两个三角形全等。”

泰勒斯定理

当然,泰勒斯最有价值的数学工作是如今被称作“泰勒斯定理”的命题:“半圆上的圆周角是直角。”更为重要的是,他引入了命题证明的思想,即借助一些公理和真实性已经得到确认的命题来论证,可谓开启了论证数学之先河,这是数学史上一次不同寻常的飞跃,几个世纪以后被欧几里得在写作《几何原本》时发扬光大。虽然没有原始文献可以证实泰勒斯取得了所有这些成就,但以上记载流传至今,使得他获得了第一个数学家和论证几何学鼻祖的美名,而“泰勒斯定理”自然也就成了数学史上第一个以数学家名字命名的定理。

在数学以外,泰勒斯也成就非凡。他认为,阳光蒸发水分,雾气从水面上升而形成云,云又转化为雨,因此断言水是万物的本质。值得一提的是,泰勒斯把金属也归于“水”的范畴,大概是因为它能熔化。他还认为,地球是浮在水面的圆盘,地震是地球借水的漂移发生的震动。虽然他的观点并不正确,但他敢于揭露大自然的本来面目,并建立起自己的思想体系,因此被公认为是希腊哲学的鼻祖。事实上,他很可能是第一个提出“什么是万物本源”这个哲学问题,并尝试给予回答的人。泰勒斯首创理性主义精神、唯物主义传统和普遍性原则,在神学方面他是个多神论者,认为世间充斥各种神灵。晚年泰勒斯招收学生,创立了米利都学派。

在物理学方面,琥珀摩擦产生静电的发现也归功于泰勒斯。他对天文学颇有研究,曾估量太阳和月球的大小,并确认了小熊星座,指出其有助于航海事业,并首次将一年的长度确定为365天。有着“历史之父”美誉的希罗多德(Herodotus,约前484—前425)也是西方文学的奠基人,据其名著《历史》记载:泰勒斯曾准确地预测了发生在公元前585年的一次日食,并借此平息了一场战争。至于泰勒斯所用的方法,后世学者认为可能是古代巴比伦人发现的沙罗周期(Saros)(1) 。欧德莫斯相信,他已经知道按春分、夏至、秋分和冬至来划分的四季是不等长的。而泰勒斯与梭伦之间的交往,则可能是有史以来数学家与政治家、数学家与诗人之间最早的友谊。

在泰勒斯的学生中间,以阿那克西曼德和阿那克西米尼最有成就,还有一位历史学家、作家和旅行家赫卡泰奥斯(Hecataeus,约公元前550—前476),也被有的学者划到泰勒斯门下。赫卡泰奥斯不仅用优美简洁的文笔写出了最早的游记(他在波斯帝国有广泛的游历),同时也是地理学和人种学的先驱,他有一句名言流传后世:“埃及是尼罗河的礼物。”但从他的生年和泰勒斯的卒年来看,他并不能够成为后者的学生。无论如何,赫卡泰奥斯是波斯统治下的米利都人,他是有记载的古希腊第一位历史学家。在他去世前不久出生的希罗多德也模仿他说过:“几何学是尼罗河的礼物。”

阿那克西曼德(Anaximander,约前610—前545)认为世界不是由水组成的,而是由特殊的不为我们熟知的某种基本形式组成的(构成土、气、水、火四种元素的某种实体)。不仅如此,他还创造出一种归谬法,并由此推断出人是由海鱼演化而来的,高级动物是由低级动物演化而来的。阿那克西曼德提出了一种重要的宇宙观,即地球是宇宙的中心(一个自由浮动的圆柱体),太阳、月亮和星星都围绕着地球呈环状排列,在哥白尼的学说出现之前,这个宇宙观延续了2000多年。据说阿那克西曼德曾率领使节团到斯巴达,并在那里展示了他的两项伟大发明——日晷和(人类绘制的第一幅)世界地图。(www.xing528.com)

阿那克西米尼(Anaximenes,约前586—前526)的观点又有所不同,他认为世界是由空气组成的,空气的凝聚和疏散产生了各种不同的物质形式。与两位米利都学派前辈一样,他的哲学也是一元论,埃及人和巴比伦人利用神灵来解释世界的形成和本质,他们则是做了自然主义的阐释。据说阿那克西米尼有过上千个门徒,有一次他上课时要求学生放下笔记本认真听课,答应课后发给大家讲义,结果他只给了一张白纸,让大家把听到的写在纸上,只有路过旁听的毕达哥拉斯记全了。这个故事真假难辨,但是富有哲理,涉及教师或管理者的艺术,就是让学生或员工对自己负责,学会和掌握重要的实用技能。

毕达哥拉斯

毕达哥拉头像,现藏于罗马卡比托利尼博物馆

在与米利都只有一箭之遥的爱琴海上,有一座叫萨摩斯的小岛。岛上的居民比陆地上保守一些,盛行一种没有严格教条的奥尔菲主义,经常把有共同信仰的人召集在一起。这或许是让哲学成为一种生活方式的开端。这种新哲学的先驱正是前文提及的阿那克西米尼课上的那位旁听生——毕达哥拉斯(Pythagoras of Samos,约公元前580—前500)(2) ,他成年后离开萨摩斯岛,到米利都求学。据阿那克西曼德的一位学生所言,毕达哥拉斯早年拜访过泰勒斯。可是,泰勒斯却以年事已高为由拒绝了他,但建议他去找阿那克西曼德。毕达哥拉斯不久发现,在米利都人眼里,哲学是一种高度实际的东西,这与他本人超然于世界的冥想习惯相反。

按照毕达哥拉斯的观点,人可以分三类,最低层是做买卖交易的,中间层是参加(奥林匹克)竞赛的,最高一层是旁观者,即所谓的学者或哲学家。之后,毕达哥拉斯离开了米利都,独自一人一路游历来到埃及,在那里居住了十年,学习了埃及人的数学。后来,他在埃及做了波斯人的俘虏,后又被掳到了巴比伦,在那里住了五年,掌握了更为先进的数学。加上旅途的停顿,当毕达哥拉斯乘船返回自己的故乡,时间已经过去了19年,比后来中国东晋的名僧法显(334—420)和唐代的玄奘法师(602—664)到印度取经所用时间还久。

可是,保守的萨摩斯人仍无法容纳毕达哥拉斯的思想,他只好再度漂洋过海,到意大利南部的克罗托内(如今是省会城市),在那里安顿下来,娶妻生子并广收弟子,形成了所谓的毕达哥拉斯学派。尽管这个社团是个秘密组织,有着严格的纪律,但他们的研究成果并没有为宗教思想所左右,反而形成了一个传递2000多年的科学(主要是数学)传统。“哲学”(φιλοσοφια)和“数学”(μαθηματιχα)这两个词本身便是毕达哥拉斯本人所创造的,前者的意思是“智力爱好”,后者的意思是“可以学到的知识”。

毕达哥拉斯学派的数学成就主要包括:毕达哥拉斯定理,特殊的数和数组的发现如完美数、友好数、三角形数、毕氏三数,正多面体作图,的无理性,黄金分割,等等。这些工作有的至今悬而未决(完美数、友好数),有的被应用到日常生活的方方面面,有的如毕氏定理则提炼出了费尔马大定理这样深刻而现代的结论。与此同时,毕达哥拉斯学派注重和谐与秩序,并重视限度,认为这即是善,同时强调形式、比例和数的表达方式的重要性。

毕达哥拉斯曾用诗歌描述了他发明的第一个定理:

斜边的平方,

如果我没有弄错,

等于其他两边的

平方之和。

这个早已被巴比伦人和中国人发现的定理的第一个证明是由毕达哥拉斯给出的。据说他当时紧紧抱住哑妻西阿诺(奥运冠军的女儿,也是他的学生)大声喊道:“我终于发现了(Eureka)!”毕达哥拉斯还发现,三角形的三个内角和等于两个直角的和。他同时证明了,平面可以用正三角形、正四边形或正六边形填满。用后来的镶嵌几何学可以严格地推导,不可能用其他正多边形来填满平面。

毕达哥拉斯定理的证明

至于毕达哥拉斯是如何证明毕氏定理的,一般认为他采用了一种剖分的方法。如图所示,设a、b、c分别表示直角三角形的两条直角边和斜边,考虑边长为a+b的正方形的面积。这个正方形被分成五块,即一个以斜边为边长的正方形和四个与给定的直角三角形全等的三角形。这样一来,求和后经过约减,就可以得到:

a2+b2=c2

关于自然数,毕达哥拉斯最有趣的发现和定义是亲和数(amicable number)和完美数(perfect number)。所谓完美数是这样一个数,它等于其真因子的和,例如6和28,因为:

6=1+2+3

28=1+2+4+7+14

《圣经》开篇《创世纪》里提到,上帝用6天的时间创造了世界(第7天是休息日),而相信地心说的古希腊人认为,月亮围绕地球旋转所需的时间是28天(即便在哥白尼的眼里,太阳系也恰好有6颗行星)。古罗马思想家圣奥古斯都在《上帝之城》中写道:“6这个数本身就是完美的,并非因为上帝造物用了6天;事实上,恰恰因为6是完美的,所以上帝在6天之内把一切事物都造好了。”

迄今为止(2020年1月),人们只发现51个偶完美数,没有人找到一个奇完美数,也没有人能够否定它的存在。不难证明,偶完美数均以数字6或8结尾。古希腊人曾猜测它们交替以6和8结尾,后来被证实是错误的。但几年前笔者统计了已有的完美数,以8结尾的和以6结尾的完美数分别是19个和30个,如果下一个(第50个)完美数以6结尾的话,那么19比31趋近于黄金分割比,后来果然应验了。于是,作者大胆猜测:这个比值趋近于黄金分割比!有意思的是,黄金分割恰好也是毕达哥拉斯学派提出来的,只是他们当初没想过其与完美数之间可能存在某种联系。

所谓黄金分割比是指把一条线段分割成两部分,使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比,其比值是:

≈0.618…

按此比例设计的造型特别美丽,被称为黄金分割。这个数值不仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域,也在管理、工程设计等方面有重要的应用,在日常生活中的应用也比比皆是。

而亲和数是指这样一对数,其中的任意一个是另一个的真因子之和。例如,220和284,这是毕达哥拉斯学派发现的。后人为亲和数添加了神秘色彩,使其在魔法术和占星术方面得到应用,《圣经》里提到,雅各送孪生兄弟以扫220只羊,以示挚爱之情。直到2000多年以后,第二对亲和数(17926,18416)才由17世纪法国数学家费尔马找到,他的同代同胞、数学家兼哲学家笛卡尔则找到了第三对(9363584, 9437056)。虽然18世纪瑞士数学家欧拉找到了60多对亲和数(运用现代数学技巧和计算机,数学家们发现了一亿多对),但是第二小的一对(1184,1210)却是在19世纪后期由一位16岁的意大利男孩帕格尼尼(Paganini)找到的。

更为难得的是,毕达哥拉斯的思想持续影响了后世的文明。在中世纪时,他被认为是“四艺”(算术、几何、音乐、天文)的倡导者和鼻祖。在天文学方面,毕达哥拉斯最早发现,晨星和昏星是同一颗星(后来被称为金星)。欧洲文艺复兴以来,他的观点如黄金分割、和谐比例等均被应用于美学。16世纪初期,波兰人哥白尼自认为他的“日心说”属于毕达哥拉斯的哲学体系;稍后,发现自由落体定律的意大利人伽利略也被称为毕达哥拉斯主义者;而17世纪创建微积分学的德国人莱布尼茨则自认为是毕达哥拉斯主义的最后一位传人。

谈到音乐,在毕达哥拉斯看来,是最能对生活方式起到净化作用的。他发现了音程(3) 之间的数的关系。一根调好的琴弦如果长度减半(手指所指),将会奏出一个高八度音。同样地,如果缩短到三分之二,就奏出一个第五音;而如果缩短到四分之三,则奏出一个第四音,如此等等。换句话说,数的比例决定了音调。无论怎样调音,在一台钢琴上都不能同时精准地弹奏高八度音和第五音。这是因为,两个相隔八度音的音符发生频率为2∶1,而两个相隔五度音的音符发生频率为3∶2,而下列不定方程

=

无正整数解。也就是说,这两个比率是不可通约的。调好的琴弦与和谐的概念在希腊哲学中占据重要地位。和谐意味着平衡,对立面的调整和联合,就像音程适当调高调低。20世纪英国哲学家罗素认为,伦理学(又称道德哲学)里中庸之道等概念,可以溯源到毕达哥拉斯的这类发现。

音乐上的发现直接导出了“万物皆数”的理念,这可能是毕达哥拉斯学派最本质的哲学思想,它区别开了米利都学派的那三位先哲。在毕达哥拉斯看来,一旦掌握了数的结构,就控制了世界。在此以前,人们对数学的兴趣主要源于实际的需要,例如埃及人是为了测量土地和建造金字塔;而到了毕达哥拉斯那里,却是(按希罗多德的说法)“为了探求”。这一点从毕达哥拉斯对“数学”和“哲学”的命名也可以看出,又如,“计算”一词的原意是“摆布石子”。他们从数学的角度解释世界,从而确立了自然科学的发展方向。

毕达哥拉斯认为,数乃神的语言。他指出,在我们生活的世界多数事物是匆匆过客,随时会消亡,唯有数和神是永恒的。

毕达哥拉斯学园遗址,作者摄于意大利克罗托内

当今世界早已进入数字时代,那似乎也是毕达哥拉斯的一个预言。遗憾的是,这个数字所控制的世界更多的是物质的,尚缺少一些神圣或精神的东西。2018年初春,作者有幸造访了克罗托内的毕达哥拉斯学园遗址,那里还遗留下来一根毕达哥拉斯时代的石柱,比雅典巴特农神庙残留的石柱还要早上一个多世纪。物换星移,有少数事物却流传下来了。