微积分（下册）：偏导数计算法

对二元函数z=f（x，y），如果只有自变量x变化，而固定自变量y=y0，则函数z=f（x，y0）就是x的一元函数，该函数对x的导数，就称为二元函数z=f（x，y）对x的偏导数.一般地，有以下定义：

定义1　设函数z=f（x，y）在点（x0，y0）的某一邻域内有定义，当y固定在y0，而x在x0处有增量Δx时，相应地函数有增量

如果极限

存在，则称此极限为函数z=f（x，y）在点（x0，y0）处对x的偏导数，记作

即

类似地，函数z=f（x，y）在点（x0，y0）处对y的偏导数定义为

记作

偏导函数：如果函数z=f（x，y）在区域D内每一点（x，y）处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数就是x，y的函数，称为函数z=f（x，y）对自变量x的偏导函数（简称偏导数），记作

即

类似地，可定义函数z=f（x，y）对y的偏导函数，记作

即

（2）偏导数的记号zx，fx也记成z′x，f′x，对后面的高阶偏导数也有类似的情形.

偏导数的概念还可推广到二元以上的函数.

例如，三元函数u=f（x，y，z）在定义域的内点（x，y，z）处分别对x，y，z的偏导数定义为

上述定义表明，在求多元函数对某个自变量的偏导数时，只需把其余自变量看成常数，然后直接利用一元函数的求导公式及复合函数求导法则来计算.

例1　求z=x2+3xy+y2在点（1，2）处的偏导数.

解　把y看成常数，对x求导，得

把x看成常数，对y求导，得

故所求偏导数

讨论：下列求偏导数的方法是否正确？(www.xing528.com)

例2　求z=x2 sin 2y的偏导数.

例4　求的偏导数.

解　把y和z看成常数，对x求导，得

利用函数关于自变量的对称性，得

例5　已知理想气体的状态方程为pV=RT（R为常数），求证：

证明　因为

所以

（2）与一元函数类似，对分段函数在分段点的偏导数要利用偏导数的定义来求解.

（3）在一元函数微分学中，如果函数在某点存在导数，则它在该点必定连续.对于多元函数来说，即使函数的各偏导数在某点都存在，也不能保证函数在该点连续.

例如，二元函数

在点（0，0）处，有fx（0，0）=0，fy（0，0）=0，但函数在点（0，0）处并不连续.

事实上

当点P（x，y）沿x轴趋于点（0，0）时，有

当点P（x，y）沿直线y=kx趋于点（0，0）时，有

偏导数的几何意义：

设曲面的方程为z=f（x，y），M0（x0，y0，f（x0，y0））是该曲面上一点，过点M0作平面y=y0，截此曲面得一条曲线，其方程为

图8-12

则偏导数fx（x0，y0）表示上述曲线在点M0处的切线M0Tx对x轴正向的斜率（见图8-12）.

同理，偏导数fy（x0，y0）表示曲面被平面x=x0所截得的曲线在点M0处的切线M0Ty对y轴正向的斜率.