【摘要】：由于级数的敛散性可通过它的部分和数列来确定，因此，根据收敛数列的基本性质可得到收敛级数的以下性质：于是解由等比级数可知由例1可知所以性质2去掉、增加或改变级数的有限项不会改变级数的敛散性.证明这里只证明改变级数的前有限项的情况，其他情况可由此推出.设有级数若改变它的前k项，得到一个新的级数设级数的前n项的和为An，u1+u2+…
由于级数的敛散性可通过它的部分和数列来确定，因此，根据收敛数列的基本性质可得到收敛级数的以下性质：
于是解 由等比级数可知
由例1可知
所以
性质2 去掉、增加或改变级数的有限项不会改变级数的敛散性.
证明 这里只证明改变级数的前有限项的情况，其他情况可由此推出.设有级数
若改变它的前k项，得到一个新的级数
设级数（10-4）的前n项的和为An，u1+u2+…+uk=a，则
同时，设级数（10-5）的前n项的和为Bn，v1+v2+…+vk=b，则
可知，数列{Bn}和{An}具有相同的敛散性，即级数（10-4）和级数（10-5）具有相同的敛散性.
性质3 在一个收敛级数中，任意添加括号所得到的新级数也收敛，且收敛于原来的和.
注 级数加括号之后收敛并不能推出它在未加括号之前也收敛.例如(https://www.xing528.com)
收敛，但级数
却是发散的.但有以下的推论：
推论1 如果加括号后所得的级数发散，则原来的级数也发散.
例6 判别级数
的敛散性.
解 考虑加括号之后的级数
注 由性质4可知，若级数的一般项不趋于零，则级数是发散的.
例如
级数的一般项趋于零只是该级数收敛的必要条件，如下例.
注 当n越来越大时，调和级数的项变得越来越小，趋于零.但是，调和级数的和会慢慢地增大，超过任何一个有限值.
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