微积分下册：直接法求解函数的幂级数展开

可按下列步骤把函数f（x）展开成泰勒级数：

（1）计算f（n）（x0），n=1，2，…；

例1　将函数f（x）=ex展开成x的幂级数.

解　根据f（n）（x）=ex，得f（n）（0）=e0=1（n=0，1，2，…），故f（x）=ex的麦克劳林级数为

该级数的收敛半径为R=+∞.

对任意有限的数x，ξ（ξ介于0与x之间），有

例2　将函数f（x）=sin x展开成x的幂级数.解　所给函数的各阶导数为

f（n）（0）依次取值为0，1，0，-1，…（n=0，1，2，…）.于是，sin x的麦克劳林级数为该级数的收敛半径为R=+∞.

对任意有限的数x有

其中，ξ介于0与x之间，于是

例3　将函数f（x）=cos x展开成关于x的幂级数.(https://www.xing528.com)

解　利用幂级数的运算性质，可直接对sin x的幂级数展开式逐项求导，得

例4　将函数f（x）=ln（1+x）展开成x的幂级数.

在上式两端从0到x积分，得到

　因上式的右端对x=1时也收敛，而且ln（1+x）在x=1处有定义且连续，故上式对x=1时也成立.

此外，利用直接法和幂级数的运算性质，可得

的麦克劳林展开式

在区间的端点x=±1处，可以证明：当α≤-1时，收敛域为（-1，1）；当-1＜α＜0时，收敛域为（-1，1]；当α＞0时，收敛域为[-1，1].

式（10-12）称为二项展开式.易知，当α为正整数时，式（10-12）就是初等代数中的二项式定理.

到此，已得到了5个常用的麦克劳林展开式：

此外，根据几何级数的性质，还可得到两个常用的麦克劳林展开式