微积分第二型曲面积分的概念与性质

下面以流体的流动为例，引入第二型曲面积分的概念.

引例　设稳定流动的不可压缩流体（假定密度为1）在（x，y，z）点的速度可表示为

Σ是流速场中的一片光滑有向曲面，函数P（x，y，z），Q（x，y，z），R（x，y，z）都在Σ上连续，求在单位时间内流向定向曲面Σ的流体的质量，即流量Φ.

这也就是单位时间内流体通过闭区域A流向n所指一侧的流量Φ.

图11-32

由于现在所考虑的不是平面闭区域而是一片曲面，且流速v也不是常向量，因此，所求流量不能直接用上述方法计算.过去在各类积分概念中使用过的方法，也可解决目前的问题.

把曲面Σ分成n小块ΔS1，ΔS2，…，ΔSn（ΔSi同时代表第i小块曲面的面积）.在Σ是光滑的和v是连续的前提下，只要ΔSi的直径很小，则可用ΔSi上任一点（ξi，ηi，ζi）处的流速

代替ΔSi上其他各点处的流速，以该点（ξi，ηi，ζi）处曲面Σ的单位法向量

代替ΔSi上其他各点处的单位法向量.从而得到通过ΔSi流向指定侧的流量的近似值

于是，通过曲面Σ流向指定侧的流量

又因为

所以上式可写为

当各小块曲面的直径的最大值λ→0时，取上述和的极限，则可得到流量Φ的精确值为

这样的极限还会在其他问题中遇到，抽去它们的具体意义，就可得出第二型曲面积分的概念.(www.xing528.com)

定义1　设Σ为光滑的有向曲面，函数R（x，y，z）在Σ上有界.把Σ任意分成n块小曲面ΔSi（ΔSi同时也代表第i小块曲面的面积）.ΔSi在xOy面上的投影为（ΔSi）xy，（ξi，ηi，ζi）是ΔSi上任意取定的一点.如果当各小块曲面的直径的最大值λ→0时，有

总存在，则称此极限为函数R（x，y，z）在有向曲面Σ上的第二型曲面积分，记作

其中R（x，y，z）称为被积函数，Σ称为积分曲面.

类似地，可定义函数P（x，y，z）在有向曲面Σ上的第二型曲面积分

及函数Q（x，y，z）在有向曲面Σ上的第二型曲面积分

分别为

以上3个曲面积分也称对坐标的曲面积分.

当P（x，y，z），Q（x，y，z），R（x，y，z）在有向光滑曲面Σ上连续时，第二型曲面积分是存在的，以后总假设P，Q，R在Σ上连续.

在应用上出现较多的是

为简便起见，这种合并起来的形式常写为

因此，上面流向Σ指定侧的流量Φ可表示为

若 记A（x，y，z）=P（x，y，z）i+Q（x，y，z）j+R（x，y，z）k，dS=（dydz，dzdx，dxdy），则第二型曲面积分也可写成向量形式

第二型曲面积分具有与第二型曲线积分类似的一些性质.

性质1（方向性）　设Σ是有向曲面，-Σ表示与Σ取相反侧的有向曲面，则