饮酒模型为数学实验-数学实验

大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检查时符合新的驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，为了保险起见他呆到凌晨2点才驾车，又一次遭遇检查时却被定为饮酒驾车，这让他既懊恼又困惑，试帮助大李回答以下问题：

（1）为什么喝同样多的酒，两次检查结果不一样呢？

（2）进一步分析快速或匀速饮3瓶啤酒在多长时间内驾车就会违反新标准，估计血液中的酒精含量在什么时间最高？

（3）如果某人天天喝酒，是否还能开车等问题？

（4）根据所做出的结果，结合新国家标准写一篇短文，给想喝一点酒的司机如何驾车提出忠告。

注　新标准规定，车辆驾驶人员血液中酒精含量大于或者等于20毫克／百毫升，小于80毫克／百毫升为饮酒驾车；血液中酒精含量大于或者等于80毫克／百毫升为醉酒驾车。

问题分析

人体喝了酒之后，通过肠胃将酒精吸收扩散到体液中，同时体液中的酒精又通过汗液、尿液等排出体外。假设酒精在人体中只涉及肠胃和体液之间的扩散，酒精在血液中的浓度称为血液的酒精浓度（毫克／百毫升）。

酒精在肠胃和体液中扩散过程如图1.3.9所示。

图1.3.9　酒精在肠胃和体液中扩散的示意图

设x 1（t），x 2（t）分别表示t时刻肠胃和体液中的酒精含量；v 1，v 2分别表示肠胃和体液的体积；c1（t），c2（t）分别表示肠胃和体液中的酒精浓度；k 1表示酒精从肠胃扩散到体液中的速率，k 2表示酒精从体液中排除体外的速率，且k 1，k 2＞0。

模型建立

根据题意建立快速饮酒的微分方程模型如下：

(www.xing528.com)

其中，p为初始时刻肠胃中的酒精浓度。

模型求解

根据题意可知：x 1（t）＝v 1*c 1（t），x 2（t）＝v 2*c2（t），进一步化简上述的微分方程模型可得扩散过程的模型如下：

则微分方程的解为：

分析上述解可以看出，当时，体液中的酒精浓度c2（t）达到最大值；当t＜t0时，体液中的酒精浓度呈单调增加趋势；当t＞t 0时，体液中的酒精浓度呈单调减少趋势；结果中参数k 1，k 2的具体取值需要通过数据拟合得到。

【能力训练1.3】

1.根据表1所给的某地人口数据，预测该地2020年的人口。

表1　某地人口数据表（单位：万）

2.某人突然开始发病，医生给他一次性注射31.2mg的药物，可以认为药物进入了一个容积为35000ml的区域。假设药物离开病人身体的速度与体内药量的多少成正比，且比例系数为0.074，试建立病人体内药物浓度的微分方程模型，并回答下列问题：

（1）计算3小时后病人体内的药物浓度；

（2）如果该病人隔4个小时又注射了一次药物，重新建立药物浓度C（t）所满足的微分方程模型并求解。