L珠宝公司海外部经理罗伯特的数学探险故事，寻找珍宝与盛宴

也不知怎么回事，这两天许多外国旅游者接连来岛上。他们被岛上美丽的风光所吸引，在岛上到处跑。罗克得知其中有一艘豪华旅游船将开往美国。罗克非常高兴，想搭乘这艘船去美国参赛。乌西亲自和船长联系，船长同意后，乌西给罗克买了船票，船明天早晨出发。

为了感谢罗克在寻找珍宝中做出的巨大贡献，乌西给罗克举行了盛大的宴会。神圣部族所有头面人物都出席了宴会，美酒佳肴，欢歌笑语，好不热闹。神圣部族的成员本来酒量就大，再加上百年珍宝出土，宴会上大家大碗大碗地喝酒。没等宴会散了，一个个已酩酊大醉，东倒西歪，语言不清了。罗克是滴酒不沾的。他吃了一点菜就悄悄离开了宴会厅，准备回到住所整理一下行装。海岛的夜色特别美好，一轮圆月高挂天空，月光给远处的沙滩涂上了一层白银，海浪声和风吹椰树的沙沙声汇成了一首十分悦耳的乐曲，罗克陶醉了。

突然，一个口袋把罗克的脑袋套住了，然后被人背在身上。尽管罗克拼命挣扎，无奈脑袋被口袋罩住叫不出声来，被人家背走啦!

走了大约有10分钟的时间，罗克被放到了地上。摘下口袋，罗克用手揉了揉眼睛定睛一看，这不是望海石吗?一块酷似人头像的黑色大石头，面向着海洋。他再向左右一看，两边各站着一个膀大腰圆的青年人，另一个是年龄有50岁左右的中年男子，正全神贯注地看着他。这个中年人衣着十分考究，留着八字胡，系着一根黑白条纹领带，嘴里叼着一只烟斗。显然，这三个陌生人都是来岛的外国旅游者。

中年人嘴边挂着得意的微笑，围着罗克慢慢地踱着步子，一边说:“我们E国L珠宝公司，盯住神圣部族的老首领麦克罗隐藏的珍宝，已有一个世纪了。前些日子小个子杰克给我们发来了情报，说一名叫罗克的中国学生，帮助他们找到了这批珍宝。杰克又给我们发来情报，说他已经把珍宝弄到了手，让我们赶紧派人来接这批珍宝。可是，紧接着杰克第三次送来情报，询问你这个罗克，是不是L珠宝公司派来取珍宝的人?说你已经答对了规定暗号的前两道题。我一想，不好，出事啦!我这次只好亲自出马喽。”

罗克问:“你是谁?”

旁边的一个青年说:“这是我们L珠宝公司海外部经理罗伯特先生。”罗伯特点了点头说:“是的。E国本土以外的珍宝和古董的买卖、特工人员的派遣，全部由我负责。我从来没有派遣你罗克来取珍宝呀!”罗克把头一扭，“哼”了一声。

罗伯特笑了笑说:“幸好，小个子杰克留了个心眼，没有把三道题目都对你讲，只讲了两道。其实，把第三道题告诉你，你也答不出来。”

罗克摇了摇脑袋说:“我不信!”

“不信你就听着。”罗伯特说，“威力无比的太阳神阿波罗，要经常巡视他管辖的三个星球。他巡视的路线是:从他的宫殿出发，到达第一个星球视察后，回到自己的宫殿休息一下；再去第二个星球视察后，又回到自己的宫殿休息；最后去第三个星球视察后，再回到宫殿。一天，阿波罗心血来潮，想把自己的宫殿搬到一个合适的位置，使自己巡视三个星球时，所走的路程最短。你说，阿波罗选择什么地方建宫殿最合适?”

罗克把眼一瞪说:“你没有告诉我这三个星球的位置，我怎么解呀?”

“随便找三个点就行。”罗伯特随手在地上画了三个点。

罗克稍微想了一下说:“我把这三个星球分别叫做A、B、C点，连接这3点构成一个三角形。这样一来，问题转化为一个数学问题了:求一点O，使得OA＋OB＋OC最小。”

罗伯特点了点头说:“不愧人家称你为大数学家，果然名不虚传。”

罗克连说带画，他说:“以△ABC的三边为边，依次向外做3个等边三角形:△ABC′，△BCA′，△ACB′。连接CC′和BB′，两线交于O，则O就是阿波罗建宫殿的位置。”

罗伯特吸了一口烟，又缓缓吐了出来。他不慌不忙地问:“什么道理?”“道理嘛，可就要难一点。”罗克眨巴着大眼睛问，“你不怕证明过程比较长吗?”

罗伯特笑了笑说:“不怕，难题证起来自然要点力气喽!”

“不怕就好。”罗克说，“这个问题要分两部分证明。你看这个图，我连接OA，先来证明A、O、A′三点共线。”

罗克向旁边的青年要了一张纸、一支笔，开始写出第一部分证明:由于你画的三角形每个角都小于120°，所以O点必在△ABC的内部。在

△ABB′和△AC′C中，

∵AB′＝AC，AB＝AC′(等边三角形两边相等)，

又∵∠BAB′＝∠BAC＋∠CAB′

　　　　　＝∠BAC＋∠C′AB＝∠C′AC，

∴△ABB′≌△AC′C(边，角，边)。

由于全等三角形的对应高相等，所以A点到OB′、OC′的距离相等，A点必在∠B′OC′的角平分线上。

∵∠AB′B＝∠ACC′(全等三角形中对应角相等)

∴B′、C点必在以AO为弦的圆弧上，也就是A、O、C、B′四点共圆。

∵∠COB′＝∠CAB′＝60°(圆弧上的圆周角相等)

∴∠BOC＝180°—60°＝120°，

而∠BA′C＝60°，

因此A′、B、O、C一定共圆。

∵＝，

(同圆中等弧上的圆周角相等)

∴OA′为∠BOC的角平分线。

又∵∠BOC与∠B′OC′为对顶角

∴A、O、A′三点共线。也就是说AA′、BB′、CC′三线共点。

罗克抬起头来问罗伯特说:“你看懂了吗?”(www.xing528.com)

“哈、哈。”罗伯特大笑了两声说，“我是大学数学系毕业，能连这么个简单的证明都看不懂?笑话!”

“嗯?”罗克好奇地问，“你是学数学的，怎么干起偷盗人家国宝的缺德事?”

罗伯特磕掉烟斗里的烟灰说:“不干缺德事挣不了大钱呀!数学再美好，也变不成金钱呀!”

“哼，学数学的也出了你这么个败类!”罗克狠狠瞪了罗伯特一眼。罗伯特摆摆手说:“废话少说，你快把第二部分给我证出来!”

罗克连话也没说，就低头写了起来:

∵前面已证明O、C、B′、A四点共圆，

又∠AB′C＝60°，

∴∠AOC＝120°。同理可证∠BOC＝∠BOA＝120°。

过A、B、C分别作OA、OB、OC的垂线，两两相交构成新的三角形DEF。

∵∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝120°，

∴∠D＝∠E＝∠F＝60°，

即△DEF为等边三角形。

设等边△DEF的边长为a，高为h。

而S△DEF＝

又∵S△DOE＝S△DOF＋S△EOF＋S△FOD

　　　　　＝(OA＋OB＋DC)，

任取异于O的点O′，由于O′点的位置不同，可分O′点在△DEF的内部、边上、外部三种情况进行讨论。

我们先讨论O′在△DEF的内部。

可由O′点向△DEF三边分别引垂线h1、h2、h3，再连接O′A，O′B，O′C。

∵斜线大于垂线，

∵S△DEF＝S△DO′E＋S△DO′F＋S△EO′F，

又∵S△DO′E＋S△DO′F＋S△EO′F＝(h1＋h2＋h3)

∴(h1＋h2＋h3)

由(1)、(2)、(3)式可得

O′A＋O′B＋O′C≥h1＋h2＋h3＝h＝OA＋OB＋OC，这就证明了O点到A、B、C三点距离之和最短。

类似的方法可证明O′在△DEF上及△DEF外的情况。

罗克把证明结果往罗伯特面前一推说:“第二部分证完了，你自己去看吧!”

罗伯特把证明仔细看了两遍，点了点头说:“不愧是位大数学家，这么难的历史名题被你轻易证出来了。”

罗克说:“题目我也给你做出来了，是不是该放我走了。我明天要乘船去华盛顿，今天要收拾一下行装。”

“去华盛顿，那太容易了。港口停泊的那艘豪华游船就是我们L珠宝公司的，可以随时为你服务。不过……”罗伯特讲到这儿突然又把话停住了。“不过，你有什么话痛痛快快地说出来，不用装腔作势!”罗克一点儿也不客气。

“好!既然你喜欢痛快，那我就直说了吧!”罗伯特猛地吸了一口烟，说，“我们L珠宝公司盯住神圣部族的这份珍宝已有很长时间了，今日一旦被发掘出来，怎么会轻易放手呢?我们想请你帮帮忙?把这批珍宝给我们弄到手!”

罗克摇摇头说:“我怎么能帮这个忙?对不起，我帮不了你们的忙。”

罗伯特摆摆手说:“不要把话说绝了!你如能帮我们把珍宝弄到手，原来答应给小个子杰克的200万英镑给你。你知道200万英镑有多少?它可以买一座城市!”

罗克笑了笑说:“200万英镑买一座城市?哪有那么便宜的城市?你不用骗我，我也不要那200万英镑。”

罗伯特把双眉一皱说:“如果你执意不同意，那就别怪我不客气啦!伙计，给他点颜色看看!”两名打手拿出一根绳子，上来就把罗克双手捆在一起，准备把他吊在树上。