2012年硕士研究生入学考试数学真题与热点问题解析

一、选择题

（1）分析 分别确定曲线的铅直和非铅直渐近线的条数即可.

精解y在点x=-1，1处无定义，但

所以，所给曲线只有一条铅直渐近线x=1.此外，由

知，所给曲线只有一条非铅直渐近线y=1（它为水平渐近线）.

因此本题选（C）.

附注 在计算曲线y=f（x）的非铅直渐近线时，如果（常数），必有，所以此时非铅直渐近线只有水平渐近线y=k.

（2）分析 按导数定义计算f′（0）.

精解 由于f（0）=0，所以

因此本题选（B）.

附注 用如下方法也可以计算f′（0）：

由于f′（x）={（e^x-1）[（e^2x-2）（e^3x-3）…（e^nx-n）]}′

=e^x（e^2x-2）（e^3x-3）…（e^nx-n）+（e^x-1）[（e^2x-2）…（e^nx-n）]′

所以f′（0）=1·（-1）（-2）…[-（n-1）]+0·[（e^2x-2）…（e^nx-n）]′_x=0

=（-1）^n-1（n-1）！.

（3）分析 利用收敛正项级数的性质确定正确选项.

精解 由于数列{S_n}有界时，{S_n}单调增加且有界，所以由数列极限存在准则Ⅱ知存在，记为A，则，即{a_n}收敛.但反之未必成立，例如正项数列{a_n}={1}收敛，但数列无界.

所以{S_n}有界是正项数列{a_n}收敛的充分而非必要条件.

因此本题选（B）.

附注 数列极限有两个存在准则：

准则Ⅰ 设数列{x_n}，{y_n}，{z_n}，如果y_n≤x_n≤z_n（n=N+1，N+2，…，其中N是某个整数），且，则

准则Ⅱ 设数列{x_n}单调不减有上界或单调不增有下界，则存在.

（4）分析 画出函数在[0，3π]上的概图，就可由定积分的几何意义得到正确选项.

精解 函数在[0，3π]上的概图如图B-12-1所示.由图可知，

I₁=D₁的面积，

I₂=D₁的面积-D₂的面积，

I₃=D₁的面积-D₂的面积+D₃的面积.

于是，I₂＜I₁.此外，由D₃的面积＞D₂的面积知I₃＞I₁，所以有

I₂＜I₁＜I₃.

因此本题选（D）.

图 B-12-1

附注D₃的面积＞D₂的面积可从图中看出，也可证明如下：

（5）分析 逐个判断选项的正确性，直到得到正确选项为止.

精解 对选项（A）.当x₁＞x₂时，对任意y由得f（x₁，y）＞f（x₂，y），特别有f（x₁，y₂）＞f（x₂，y₂）.（1）

当y₁＜y₂时，对x₁由得

f（x₁，y₁）＞f（x₁，y₂）. （2）

由式（1）、式（2）知，当x₁＞x₂，y₁＜y₂时，f（x₁，y₁）＞f（x₂，y₂）.

因此本题选（A）.

附注 本题也可用积分计算.对于选项（A）有，其中积分路径为如图B-12-2所示的有向折线于是有

即f（x₁，y₁）＞f（x₂，y₂）.

图 B-12-2

（6）分析 画出区域D，利用D的对称性化简所给的二重积分后再计算.

精解D如图B-12-3阴影部分所示.

用曲线y=-sinx将D分成D₁与D₂两块，则

图 B-12-3

（由于D₁关于x轴对称，函数x⁵y在对称点处的值互为相反数，所以由于D₂关于y轴对称，函数x⁵y在对称点处的值互为相反数，所以

此外， 将式（2）、式（3）代入式（1）得

因此本题选（D）.

附注 本题也可按以下方法计算：

重画D的图形如图B-12-4阴影部分所示，它被y轴划分成D₃与D₅两块，D₃与D₄关于原点对称，由于x⁵y-1在对称点（x，y）与点（-x，-y）处的值彼此相等，所以

图 B-12-4

从而

本题的有关计算方法见提高篇12.

（7）分析 只要在α₁，α₂，α₃，α₄中找到三个向量，以它们为列的矩阵的行列式为零即可.

精解 由于

所以向量组α₁，α₃，α₄线性相关.

因此本题选（C）.

附注 判别n个n维列向量组α₁，α₂，…，α_n的线性相关性的快捷方法是构造矩阵A=（α₁，α₂，…，α_n），

当|A|=0时，α₁，α₂，…，α_n线性相关；

当|A|≠0时，α₁，α₂，…，α_n线性无关.

（8）分析 利用即可算出Q^-1AQ.

精解 由于，

所以

因此本题选（B）.

附注 本题也可用以下方法快捷计算：

由知α₁，α₂是A的对应特征值λ=1的两个线性无关的特征向量，所以α₁+α₂，α₂也是A的对应特征值λ=1的两个线性无关的特征向量，因此，对于Q=（α₁+α₂，α₂，α₃）有

二、填空题

（9）分析 所给方程两边对x求导两次，并将y（0），y′（0）的值代入即可得到y″（0）.

精解 显然y（0）=0，所给方程两边对x求导得

2x-y′=e^yy′. （1）

由此可得y′（0）=0.

式（1）两边对x求导得

2-y″=e^y（y′）²+e^yy″.

将x=0及y（0）=y′（0）=0代入上式得

2-y″（0）=y″（0），即y″（0）=1.

附注 应熟练掌握一元隐函数求一、二阶导数的方法.

（10）分析 将所给极限转换成积分和式极限即可.

精解

附注 设f（x）是[a，b]上的连续函数，则f（x）在[a，b]上的积分和式

的极限为，即

这一方法常用于和式极限的计算.

（11）分析 对z求全微分算出，后即可得到

精解 由于

所以，，.于是

附注 当要同时计算二元可微函数f（x，y）的两个偏导数时，总是从计算全微分df入手.特别是当f是x，y的二元复合函数时，采用这一方法将使计算快捷.

（12）分析 将所给微分方程改写成

（ydx+xdy）-3y²dy=0

后求解.

精解 所给微分方程可以写成

（ydx+xdy）-3y²dy=0，

即

d（xy-y³）=0.

由此得到所给微分方程的通解

xy-y³=C.

将x=1，y=1代入上式得C=0.所以所求的满足y|_x=1=1的解为x=y²，进而可得

附注 所给微分方程也可以写成

（一阶线性微分方程），

它的通解为

将x=1，y=1代入上式得

1=C+1，即C=0.

于是x=y².

（13）分析 按曲率计算公式算出所给曲线在点（x，y）处的曲率，然后由题设建立方程，解此方程即可得出所求的点.

精解 曲线y=x²+x（x＜0）在点（x，y）处的曲率为

于是由题设得方程

，即（2x+1）²=1.

解此方程得x=-1（舍去了不合题意的x=0）.

y=（-1）²+（-1）=0.

所以所求的点的坐标为（-1，0）.

附注 当y=y（x）二阶可导时，曲线y=y（x）在点（x，y）处的曲率的计算公式为

（14）分析 利用公式AA^∗=|A|E₃（其中E₃是三阶单位矩阵），并用初等矩阵与A之积表示B，即可算出|BA^∗|.(https://www.xing528.com)

精解 由题设得，所以

因此，

附注 应记住：当A是n阶矩阵时，

AA^∗=A^∗A=|A|E_n（E_n是n阶单位矩阵，A^∗是A的伴随矩阵）.

并应熟练掌握：矩阵M的每一个初等行变换（初等列变换）都对应一个初等矩阵，并且对M左乘（右乘）这个初等矩阵即为M经此初等变换后的矩阵.

三、解答题

（15）分析 （Ⅰ）是∞-∞型未定式，转换成型未定式后再计算.

（Ⅱ）令k=1，2，…逐一计算极限，直到极限不为零为止，如此确定k的值.

精解 （Ⅰ）

（Ⅱ）由于

其中，x→0时

所以，，即x→0时f（x）-a=f（x）-1与x是同阶无穷小，从而k=1.

附注 题解中极限是采用不同方法计算的，这是因为如对后者仍应用洛必达法则计算，则是比较复杂的.

本题的有关计算方法见提高篇01.

（16）分析 按二元函数极值计算方法计算.

精解 由于，，所以由即，得f（x，y）的可能极值点为（1，0）和（-1，0）.

由，，

可知，，，

，，因此f（x，y）有极大值，极小值

附注 设f（x，y）具有二阶连续偏导数，（x₀，y₀）是它的可能极值点，且记A=f_x″_x（x₀，y₀），B=f_x″_y（x₀，y₀），C=f_y″_y（x₀，y₀），则（x₀，y₀）是f（x，y）的极小值点（极大值点）的充分条件是

AC-B²＞0与A＞0（A＜0）.

（17）分析 先算出切点A的坐标，并画出D的概图，然后计算D的面积及旋转体的体积.

精解 设切点A（x₀，y₀）（其中y₀=lnx₀），则切线方程为

即

由于切线通过点（0，1），将它代入上式得

1-lnx₀=-1，即x₀=e².

图 B-12-5

于是切点A（e²，2），而L与x轴的交点B（1，0）.由此得到D的概图如图B-12-5的阴影部分所示.

D绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积为

附注 顺便计算D绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积V1.

本题是综合题，有关计算方法见提高篇09.

（18）分析 用极坐标计算所给的二重积分.

精解

附注 当积分区域D是角域的一部分时，二重积分通常用极坐标计算，特别是当积分区域D用极坐标表示（此时，D必为角域的一部分）时，应先考虑用极坐标计算这个二重积分.

（19）分析 （Ⅰ）从求解二阶常系数齐次线性微分方程f″（x）+f′（x）-2f（x）=0入手计算f（x）的表达式.

（Ⅱ）将（Ⅰ）中算得的f（x）代入，计算y″，由此可得到曲线的拐点.

精解 （Ⅰ）f″（x）+f′（x）-2f（x）=0是二阶常系数齐次线性微分方程，它的特征方程r²+r-2=0有根r=1， -2，所以通解为

f（x）=C₁e^x+C₂e^-2x. （1）

将式（1）代入f″（x）+f（x）=2e^x得

2C₁e^x+5C₂e^-2x=2e^x，

所以，C₁=1，C₂=0.将它们代入式（1）得f（x）=e^x.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

所以，于是由

知，（0，y（0））=（0，0）是曲线的唯一拐点.

附注 题中的f（x）表达式也可按以下方法计算：

由f″（x）+f（x）=2e^x得f″（x）=2e^x-f（x）.将它代入f″（x）+f′（x）-2f（x）=0得

f′（x）-3f（x）=-2e^x （一阶线性微分方程），

它的通解为 f（x）=e^3x（C+e^-2x）=Ce^3x+e^x. （2）

将式（2）代入f″（x）+f（x）=2e^x得C=0.将它代入式（2）得f（x）=e^x.

本题是综合题，其有关内容及计算方法见提高篇03，19.

（20）分析 由于

所以只要证明（x∈（-1，1））即可.

精解 当x∈[0，1）时有为了证明这一不等式，作辅助函数，则f（x）在[0，1）上连续，在（0，1）内可导且

所以，在[0，1）上f（x）≥f（0），即.从而

由于上述不等式左边是偶函数，因此在（-1，1）上成立.由此推得，即

附注 不先化简而直接证明题中不等式是较复杂的，故对它作两次化简：

（ⅰ）将欲证的不等式左边的函数缩小成，故只要证明即可.

（ⅱ）将x限制在[0，1）上，则又可进一步化简为

本题的有关证明方法见提高篇05.

（21）分析 （Ⅰ）作辅助函数f_n（x）=xⁿ+x^n-1+…+x-1，只要证明f（x）在上满足零点定理，且在内单调即可.

（Ⅱ）只要证明{x_n}单调有界即可知存在，然后计算其值.

精解 （Ⅰ）对n=2，3，…，记f_n（x）=xⁿ+x^n-1+…+x-1，则f_n（x）在上连续，且

所以由零点定理知方程f_n（x）=0在内有实根.

此外，f_n（x）在内可导且

f_n ′（x）=nx^n-1+（n-1）x^n-2+…+1＞0，

即f_n（x）在内单调增加，因此方程f_n（x）=1，即

xⁿ+x^n-1+…+x=1

在内有且仅有一个实根.

（Ⅱ）记方程f_n（x）=1在内的唯一实根为x_n（n=2，3，…），则，3，…），即{x_n}有下界.下面证明{x_n}单调减少.对n=2，3，…有

即所以，x_n＞x_n+1（n=2，3，…），即{x_n}单调减少，

因此由数列极限存在准则Ⅱ知存在，记为A.

由于x_n满足xⁿ_n+x^n-1_n+…+x_n=1，即

并且由0＜x_n＜x₂＜1知0＜xⁿ_n＜x₂ⁿ（n=2，3，…），且，所以由数列极限存在准则Ⅰ知于是式（1）两边令n→∞取极限得，即.由此算得

附注 题解中既运用了数列极限存在准则Ⅰ，又应用了数列极限存在准则Ⅱ.本题是综合题，有关内容和计算方法见提高篇02，06.

（22）分析 （Ⅰ）按第一行展开计算行列式A.

（Ⅱ）令|A|=0，算出的a值中能使算对应的方程组Ax=β的通解.与A的秩相等的a即为所求.然后计

精解 （Ⅰ）

（Ⅱ）由|A|=0，即1-a⁴=0得a=1，-1.

当a=1时，对方程组Ax=β的增广矩阵施行初等行变换：

由此可知，此时r（A）＞r（A）.所以a=1不是所求的.

当a=-1时，对方程组Ax=β的增广矩阵施行初等行变换：

由此可知，此时，方程组有无穷多解.因此所求的a=-1.由于此时方程组Ax=β与方程组

同解.方程组（1）的导出组的通解为C（1，1，1，1）T.此外，方程组

（1）有特解（0，-1，0，0）^T.所以当a=-1时，方程组Ax=β的通解为

x=（x₁，x₂，x₃，x₄）^T=C（1，1，1，1）^T+（0，-1，0，0）^T（其中C为任意常数）.

附注 题解中值得注意的是：满足方程|A|=0的a未必都能使方程组Ax=β有无穷多解，需对方程|A|=0的根作一一检验，检验它们是否满足

要熟练掌握线性方程组通解的计算方法.

（23）分析 （Ⅰ）由|A^TA|=0算出a的值.

（Ⅱ）对（Ⅰ）中算出的a，将对称矩阵A^TA正交相似化，即Q^T（A^TA）Q=Λ（对角矩阵），由此得到正交变换x=Qy及f的标准形.

精解 （Ⅰ）由于

所以

于是，由f（x₁，x₂，x₃）的秩为2，即A^TA的秩为2得A^TA=0，即

（1+a）2（3+a²）=0.

由此得a=-1（容易检验，当a=-1时，r（A^TA）=2）.

（Ⅱ）当a=-1时，

记E₃为三阶单位矩阵，则由

得A^TA的特征值为λ=0，2，6.

设对应λ=0的特征向量为α=（a₁，a₂，a₃）^T，则α满足

显然该方程组有解α=（-1，-1，1）^T.

设对应λ=2的特征向量为β=（b₁，b₂，b₃）^T，则β满足

显然该方程组有解β=（-1，1，0）^T.

设对应λ=6的特征向量为γ=（c₁，c₂，c₃）^T，则γ应与α，β正交，故有

显然该方程组有解γ=（1，1，2）^T.

由于α，β，γ两两正交，现将它们单位化：

记Q=（ξ₁，ξ₂，ξ₃），则Q是正交矩阵，且正交变换

x=Qy （其中y=（y₁，y₂，y₃）^T）

使得f=2y²₂+6y²₃（标准形）.

附注 要熟练掌握用正交变换化二次型为标准形的方法.

本题是综合题，其有关内容及计算方法见提高篇18.