简明高等数学：矩阵的概念及特殊矩阵

矩阵是数学中的一个重要概念，是代数学的主要研究对象之一．矩阵一词是由英国数学家西尔维斯特于1850年首先引入的.在英国数学家凯莱引入矩阵的基本概念与运算以后，矩阵不仅被广泛应用于处理各种实际问题，而且成为求解线性方程组的重要工具．

一、引例

引例1 三元线性方程组

可以将其未知数的系数按照顺序组成一个数表

引例2 在物资调动中，经常要考虑如何供应销地，使物资的总运费最低．例如某个地区的三个煤矿向四个城市销售煤，调运方案如表6-1所示（单位：万吨）．

表6-1

在实际应用中，我们可以用数表

表示煤的调运方案．

在实际问题的研究中，常用这种矩形数表表达某种状态或数量关系．

二、矩阵的概念

定义 由m×n个数aij (i=1，2，…m；j=1，2，…n )排成的一个m行n列矩形数表

称为m行n列矩阵，简称m×n矩阵，其中aij称为矩阵的第i行第j列元素．

通常用大写黑体字母A，B，C，…或(aij)，(bij)，(cij )，…表示矩阵，有时为了明确矩阵的行数与列数，也可记作Am×n或(aij)m×n ．

三、几种特殊的矩阵

在矩阵的研究和应用过程中会出现一些特殊矩阵．

（1）当m=n时，矩阵A称为n阶方阵（或n阶矩阵），记为An．方阵的左上角到右下角称为主对角线，其元素a11， a22，…，ann 称为主对角线元素（简称主对角元）．

（2）当m=1时，矩阵A称为行矩阵，即

（3）当n=1时，矩阵A称为列矩阵，即

（4）如果矩阵的元素全是零，称为零矩阵，记为O．

（5）在方阵中，如果主对角线以下（上）的元素都为零，则称为上（下）三角矩阵，即形如

的矩阵为上三角矩阵；

形如

的矩阵为下三角矩阵．

（6）如果一个方阵除主对角元以外的元素都为零，则称这个方阵为对角方阵（或对角矩阵），即

（7）如果对角方阵中的主对角元都为1，则称这个方阵为单位矩阵，记为E或En，即

四、用矩阵表示实际量

例1 某企业生产5种产品，各种产品的季度产值（单位：万元）如表6-2所示．

表6-2

这个季度产值可排成一个4行5列的产值矩阵

它具体描述了这家企业各种产品在各季度的产值，同时也揭示了产值随季节变化的季增长规律及年产量等情况．

例2 某车间生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四种产品，需要消耗甲、乙、丙三种原料，单位消耗（单位：kg/t）如表6-3所示．

表6-3

该车间四种产品对三种原料的单位消耗情况可以用一个3行4列的矩阵给出：(www.xing528.com)

例3 n元线性方程组

的系数可以组成一个m行n列矩阵

称A为线性方程组（6-1）的系数矩阵．线性方程组（6-1）的系数与常数项也可以组成一个m行n+1列矩阵

习题6.1

1．填空题：

（1）如果A是一个m×n矩阵，那么A有________行________列；当m=1时，m×n矩阵是________矩阵；当n=1时，m×n矩阵是________矩阵．

（2）若A既是上三角矩阵，又是下三角矩阵，则A是一个________矩阵．

2．某药品销售公司的存货清单上显示瓶装维生素C和瓶装维生素E的数量（单位：箱）如表6-4所示．

表6-4

试用一个矩阵表示这一库存．

3．某家电公司有三个分店均销售三种功率的空调：1P、1.5P和2P．某年六月份销售以上型号空调的情况为：第一分店销量为32台、40台和19台；第二分店销量为33台、25台和31台；第三分店为42台、48台和23台．试用一个销售矩阵表示三个分店的销售情况．