矩阵方法求解轮船速度和水流速度

一、逆矩阵的概念

引例 一汽车销售公司的两个销售部销售大、小两种汽车，某月销售量矩阵为

月末盘点时得到两个销售部的利润为

设两种车的销售利润为

则有PS=W．问如何从PS=W中解出P？

对于一元一次方程ax=b，当a≠0时，我们可以在方程两边同时乘以a-1得到它的解x=a-1b，这里a-1满足aa-1=a-1a =1，这种运算能否推广到矩阵中？能否用它来解矩阵方程AX=B，从而得到X=A-1B呢？从矩阵的角度来看，单位矩阵E在矩阵的乘法中的作用类似于数1在数的乘法中的作用．下面引入逆矩阵的概念．

定义 对于n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使得

AB=BA=E，

则称矩阵A为可逆矩阵（简称A可逆），而B称为A的逆矩阵，记为A-1=B．即

AA-1=A-1A=E．

由定义可知，当B是A的逆矩阵时，A也是B的逆矩阵，因此，A与B称为互逆矩阵．

由逆矩阵的概念可以验证逆矩阵有如下性质.

性质1 若A可逆，则A-1是唯一的．

性质2 若A可逆，则A-1可逆，且(A-1)-1=A．

性质3 若A可逆，则AT 可逆，且(AT)-1=(A-1)T．

性质4 若同阶方阵A,B都可逆，则AB也可逆，且(AB)-1=B-1A-1．

另外，若n阶方阵A与B满足AB=E（或BA=E），则B=A-1．这表明，要验证方阵B是否为A的逆矩阵，只要验证AB=E或BA=E中的一个式子即可．

二、用矩阵的初等行变换求逆矩阵

如何求一个可逆矩阵的逆矩阵呢？下面给出用初等行变换求逆矩阵的方法．

首先在给定的n阶方阵A的右边放一个n阶单位矩阵E，形成一个n×2n的矩阵（A⋮E），然后对矩阵(A⋮E)施行初等行变换，直到将原矩阵A所在部分变成单位矩阵E，这时原单位矩阵部分经同样的初等行变换后所得到的矩阵就是矩阵A的逆矩阵A-1，即

显然，矩阵A经过初等行变换不能得到单位矩阵，所以矩阵A不可逆．

从上面的分析可以看出：用初等行变换不仅可以求出矩阵A的逆矩阵1-A，而且还可以判定矩阵A是否可逆．

解 因为

所以

三、用逆矩阵求解矩阵方程(www.xing528.com)

有了逆矩阵的概念，我们就可以来讨论矩阵方程的求解问题了．

对于矩阵方程AX=B，若A可逆，则用-1A左乘上式两端，得

X=A-1B．

对于矩阵方程XA=B，若A可逆，则

X=BA-1．

对于矩阵方程AXB=C，若A，B均可逆，则

X=A-1CB-1．

于是

AX = B．

由例1可知

于是

即所求方程组的解为x1=-7，x2=1，x3=5．

习题6.4

1．填空题：

5．一药剂师用a，b两种药水配制2升含盐6%的药水，其中a药水含盐3%，b药水含盐8%，问需要a，b药水各多少升？

6．一艘轮船以x(km/h)速度在长江航行，江水速度为y(km/h)，若顺水航行时轮船相对于江岸的速度为180km/h，逆水航行时轮船相对于江岸的速度为100km/h，请用矩阵方法求出轮船的速度和水流速度．