用力法计算超静定刚架，绘制内力图

用力法求解超静定结构的一般步骤为：

（1）确定超静定次数，解除多余约束，选基本系。

（2）根据位移条件建立力法典型方程。

（3）在基本系上作单位内力图及荷载内力图，按位移公式计算系数和自由项。

（4）求解典型方程，得基本未知量。

（5）计算内力，根据叠加原理作内力图并校核。

【例7-1】用力法计算图7-12（a）所示超静定刚架，并绘制内力图。

【解】

（1）确定超静定次数，选基本系。由解除约束法确定此结构为二次超静定结构，基本系有图7-12（b）（c）（d）（e）（f）等。它们都是静定的形式。计算系数和自由项比较简单的基本系如图7-12（b）（d）（f）所示。

（2）建立典型方程。将原结构的荷载及多余约束力作用在基本系上，比较基本系与原结构在解除约束处的位移条件，建立典型方程为

图7-12

（3）计算系数和自由项。本例为直杆刚架，略去剪力和轴力的影响，取图7-12（b）为基本系，用图乘法计算δki，ΔKP。首先作出各单位弯矩图及荷载弯矩图。如=1单独作用在基本系上，弯矩图如图7-12（g）所示。同理可作图，如图7-12（h）所示。MP图是荷载单独作用在基本系上引起的弯矩图，如图7-12（i）所示。由图乘法得

（4）求解基本未知量。

由

将l=2m代入，开约去得

解得

从方程中可看出，各项的刚度EI均可约去。若各杆件的刚度值不同，则可用它们的相对比值来计算。由此可得出，在荷载作用下，超静定结构的多余约束力及内力与各杆件刚度的绝对值无关，只与各杆件刚度的相对比值有关。计算时可采用相对刚度。

（5）计算内力并绘内力图。

按叠加公式，算得结构各杆端的弯矩。

杆AB：

MAB=2×0.388q+4×（-0.065q）-2q=-1.484q（左侧受拉）

MBA=2×0.388q+4×（-0.065q）=0.516q（右侧受拉）

杆AB之间弯矩图用曲线相连。

杆BC：

MBC=2×0.388q+4×（-0.065q）=0.516q（下面受拉）

MCB=2×（-0.065q）=-0.130q（上面受拉）

杆CD：

MCD=2×（-0.065q）=-0.130q（上面受拉）

MCD=0

杆BC与杆CD之间弯矩图用直线连接。弯矩图如图7-12（j）所示。弯矩图作出后，按静力平衡条件取每一杆单元为隔离体，由平衡条件求出每一杆的端剪力。同样，可取结点C，B为隔离体，考察结点处的剪力与轴力的平衡，求出各杆的轴力。最后绘出剪力图FQ（图7-12k）和轴力图F（N图7-121）。本例剪力图与轴力图均呈直线关系。

【例7-2】作图7-13（a）所示两跨连续梁受q作用下的弯矩图。

【解】

（1）建立基本系。二次超静定连续梁，用解除约束法，解除支座C的连杆约束和支座A的抗弯约束（即把固定端切开后代以一个单铰）。基本系为单悬臂的简支梁。基本系上作用多余约束力，和外荷载q，如图7-1（3b）所示（是否还有其他基本系形式？各有什么特点？请读者在学习中加以比较）。

（2）建立典型方程。基本系在，及q共同作用下，在解除约束处的位移条件应与原结构相同，即固定端A处没有转角，支座C处没有竖向位移，即Δ1=0，Δ2=0。故典型方程为

（3）计算系数和自由项。作出基本系在Fx1=1，=1及q分别作用下的单位弯矩图和荷载弯矩图，如图7-13（c）（d）（e）所示。用图乘法求得

将系数与自由项代入式（a），整理后得

图7-13

（4）求基本未知量。

设代入式（b）中，解得

负号表示的实际方向与图中假设的方向相反。

（5）作内力图。

最后弯矩图

利用叠加法绘弯矩图时先找出A，B，C三个控制点的数值。

由于AB跨有匀布荷载q，弯矩图叠加后为抛物线；BC跨无荷载，弯矩图为直线。最后M图如图7-13（f）所示。

（6）讨论。(www.xing528.com)

最后弯矩图随K=I2/I1的变化而变化，即随着两跨梁的刚度比值K而变化。再一次说明，在荷载作用下，弯矩图只与各杆刚度的相对比值有关，而与绝对值无关。若K=0，即BC跨的刚度相对AB跨的刚度小得多，极端情况为零，杆端弯矩的表达式为

则弯矩图如图7-13（g）所示。从图中看出，BC跨的弯矩全部为零，即原连续梁结构相当于一端固定、一端铰支的单跨超静定梁。

若K=∞，即BC跨的刚度相对AB跨的刚度大得多，极端情况为无穷刚，杆端弯矩的表达式为

则弯矩图如图7-13（h）所示。从图中看出，AB跨的弯矩相当于两端固定的单跨超静定梁，BC跨起着固定端的作用。注意：BC跨这时虽不变形，但有弯矩。

【例7-3】求图7-14（a）桁架的内力。

【解】

（1）建立基本系。由解除约束法判定此桁架结构为内部一次超静定。解除一根内部桁杆，成为静定形式。内部的6根杆件，哪一根都可当成多余约束杆。就是说有6种基本系的形式，每一种形式都是简单桁架，从计算的繁简程度看都相同。外部的支承约束不能解除。现选图7-14（b）为基本系，就是把杆CD切断轴力方向的约束，而另外两个约束还是存在的，如图7-15（a）所示。

图7-14

图7-15

（2）建立典型方程

（3）求系数和自由项。

作与FNP图，如图7-14（c）（d）所示，则

（解除约束计算系数时杆CD应计算在内）

（4）绘轴力图。

求解方程得Fx1，再由叠加原理，得最后轴力图7-15（b）。

【例7-4】求图7-16（a）超静定组合结构的内力，并绘内力图。

【解】

该结构为一次超静定组合结构，杆ABC为梁式杆，内力有M，FQ，FN。桁架杆AD，DE，CD，CE，BE，只受轴力。

图7-16

（1）建立基本系。现切开桁架杆DE的轴向约束后成为基本系，如图7-16（b）所示。

（2）绘，及MP图。如图7-16（c）、图7-16（d）、图7-16（e）所示。

（3）求系数和自由项。

（4）求未知基本量。求解基本未知量时，主系数δ11中的第二项（即梁的轴力项）与其他两项相比，数值很小，可以略去。则

在基本未知量表达式中，由于是荷载作用，Fx1只与相对刚度有关，而与绝对值无关。把已知条件代入，则

Fx1=6.971kN

从上述表达式得出如下结论：当梁的刚度E1I1确定后，桁架杆刚度EA越大，则相对刚度的比值越小，Fx1值越大，即桁杆的受力随着自身刚度的增大而增大，反之亦然。在极限状态下，若桁杆极柔，即EA很小，则趋于零。这时组合结构的受力状态与单跨简支梁相同。若桁杆的刚度为无穷大，则结构的受力状态接近于刚性支承的两跨连续梁。于是，工程上一般称这类桁架为加劲桁架。

（5）绘内力图。内力图由叠加法得出，如图7-16（f）所示（虚线为两跨连续梁的数值）。

【例7-5】求图7-17（a）铰接排架在牛腿处受FT=1kN水平力时的内力，并绘内力图。

【解】

（1）计算简图。柱顶上的屋架用预埋钢板焊接，往往在计算时略去由于焊接而产生的抵抗转动的力，将柱顶与屋架的连接假设为铰接。柱脚深插入基础并和基础浇在一起，故柱和基础的连接可视为固定支座。在水平力作用下可将屋架假设为一根无变形的刚性连杆（即假设EI=∞）。牛腿只作为传递荷载之用，可以略去厚度对柱子的加强作用。最后取计算简图如图7-17（b）所示，为一铰接排架。

（2）基本系与典型方程。此排架为二次超静定结构，解除两根水平连杆的轴向约束，得两个变截面悬臂梁和一个常截面悬臂梁作为基本系，如图7-17（c）所示。因此典型方程为

图7-17

（3）计算系数δki及自由项ΔkP。

作单位弯矩图，及荷载弯矩图MP，如图7-17（d）（e）（f）所示。

对于变截面杆，图乘时必须分段进行。计算系数和自由项时采用相对刚度。因此有

（4）求解多余约束力。

将δ11，δ22，δ12，δ21，Δ1P，Δ2P代入典型方程（a）并求解

解得

Fx1=0.407kN，Fx2=0.195kN

（5）作内力图。根据内力叠加公式得原结构弯矩图，如图7-17（g）所示。若排架承受其他荷载，其计算方法相同，不再赘述。

随堂练习

如图7-18所示超静定梁的支座A发生转角q，若选图7-18（b）所示力法基本结构，则力法方程为____，代表的位移条件是____，其中D1c=____；若选图7-18（c）所示力法基本结构时，力法方程为______，代表的位移条件是______，其中D1c=_________。

图7-18