微积分在建筑中的实际应用案例

建筑与微积分的联系非常紧密。通过导数的学习，为建筑力学中梁的弯矩及挠度计算提供了各种各样的便利；对导数的应用及最大值、最小值的讨论，又为建筑施工中人力、物力、财力的合理使用找到了较佳的办法；对弧微分与曲率的计算，可得到荷载作用下梁的弯曲程度的精解。例如，用微积分估计圣索菲亚大教堂及罗马万神殿的穹顶壳的体积和重量，还有力矩和质心的计算都需要运用微积分。对于积分运算、概率与统计、行列式、矩阵与线性方程、微分方程等内容，在建筑力学和建筑结构计算中，建设方案或生产计划的决策中，施工网络及建筑产品或用品的概率分析中，都有着大量广泛的应用。

1．圣索菲亚大教堂穹顶重量的计算

图9－19展示了穹顶基座四周环廊窗户上方的圣索菲亚大教堂穹顶的横截面，记录了它的壳的基本信息。我们假设壳的内外表面是球的一部分，将注意力放在壳的体积上（如今这些内外表面不再是球形了。几个世纪以来，对它的各种重建工作导致了这种变形）。我们所讨论的球的球心相同，半径分别为R＝52．5英尺，r＝50英尺。因此，壳的厚度为2．5英尺，建造穹顶所使用的砌筑材料和灰泥的平均密度为每立方英尺110磅。

图9－19

分析：图中从内外圆的公共球心出发的斜线与水平线的夹角约为20°，其中内外圆确定了窗户上方穹顶的边界。我们将要采用的方法是估计壳的体积，其单位是立方英尺，然后将它乘以110，得到穹顶重量，其单位为磅。

图9－20将左侧穹顶的横截面放到xy平面内并将该横截面旋转了90°。因为可得α＝rcos70°≈0．34r＝17。因此，我们取a＝17英尺。按照如下方法估计壳的体积。首先计算上半圆下方和区间［a，R］上方之间的区域绕x轴旋转所得到的体积V1。接着计算下半圆下方和区间［a，r］上方之间的区域绕x轴旋转所得到的体积V2。二者的差V＝V1—V2就是穹顶窗户上方的壳的近似体积。

图9－20

外圆上半部是函数的图形，内圆的上半部是函数g（x）＝的图形。把在高等数学中对旋转体体积的讨论中学到的知识与微积分基本定理相结合，可得

用同样的方法，可得

因此

由于实际给出的尺寸精度只有两个有效数字，因此需要四舍五入所得到的体积，以达到同样的精度水平。所以，穹顶壳的体积约为V＝28000立方英尺。假设穹顶施工中所用的砌筑材料和灰泥混合物的密度为每立方英尺110磅，可得窗户上面的穹顶重量约为

27581×110≈3000000磅

假设这一重量平均分布在40根支撑拱肋上，可得每根拱肋的承重量约为75000磅。(www.xing528.com)

圣索菲亚大教堂穹顶的壳由两个同心球确定，估计它的体积相对简单。事实上，它的密度基本相同，容易从它的体积估计值中推出壳的重量的估计值。罗马万神殿的穹顶的计算要复杂些，这是因为构成其壳内外表面边界的球不是同心球，且壳的混凝土密度亦不相同。

2．圣路易斯大拱门

圣路易斯大拱门的几何形状与悬链线密切相关，如图9－21所示。大拱门是由埃罗·沙里宁（1910—1961）设计的通往美国西部的象征。在设计师去世后，它由Saarinen＆Associates公司在1963年2月到1965年10月建造完成。

图9－21 圣路易斯大拱门

大拱门高630英尺，底部宽630英尺。拱门的中心曲线方程由Saarinen公司的建筑工程师给出，它在蓝图上被

表示为

式中h＝625．0925英尺，是中心曲线的最大高度；b＝299．2239，是中心曲线在底部的两个端点距离的一半；意味着cosh B＝，其中Qb＝1262．6651和Qt＝125．1406分别是拱门底部和顶端的横截面面积（单位均为平方英尺）。

为了了解大拱门的几何形状与悬链线的关系，我们先来研究以下方程给出的曲线：

式中的b和B上面已给出，y0＝y（0）是曲线的高。为了证明该曲线是已经讨论过的悬链线的一种，只要作一变化，使现将该悬链线的y坐标乘以常数

这一方法把该悬链线沿垂直方向压缩了0．69倍，得到函数

可以看出，大拱门的中心曲线是悬链线的一种压缩形式，这种压缩方式就像人们把椭圆挤成圆一样。在设计大拱门时，为什么沙里宁要用这种方式压缩一条悬链线呢？也许是因为美学的效果，经压缩后的拱门完美地符合630×630平方英尺的尺寸。