快速学习基本作图方法

点是最基本的几何元素，因此，在换面法中，必须先掌握点的投影变换规律。

1）点的一次换面

如图4.2所示，已知点A在V/H投影体系中的两面投影（a，a′）。设置一个新的投影面V1代替原投影面V，同时使V1面垂直于H面，如图4.2（a）所示，建立起一个新的投影体系V1/H取代原体系V/H。这时，V1面与H面的交线便生成新投影轴X1。将点A向新投影面V1投影，便获得点A的新投影a′1。

从图4.2中不难看出，在以V1面代替V面的过程中，点A到H面的距离是没有被改变的。即：

将新的投影体系V1/H展开，使V1面绕X1轴旋转至与H面重合。由于V1面垂直于H面，展开后a与a′1的连线必定垂直于X1轴，又得出：

图4.2　点的一次换面（替换V面）

在图4.2（b）中，可由上述关系作图求出点A在V1面上的新投影a′1。在这样一个作图过程中，a′1称为新投影，a′称为旧投影，a称为新（V1/H）、旧（V/H）体系中共有的保留投影；X称为旧投影轴（简称旧轴），X1称为新投影轴（简称新轴）。

通过以上分析，可得出点的换面法投影规律如下：

①点的新投影和保留投影的连线，必垂直于新轴。

②点的新投影到新轴的距离等于点的旧投影到旧轴的距离。

图4.3表示当替换水平面时，设置一个H1面代替H面，建立一个新体系（V/H1），获得点A在H1面的新投影a1，如图4.3（a）立体图所示。由点的换面法投影规律得：a1a′⊥X1；a1ax1=Aa′=aax。图4.3（b）表示求新投影的作图过程。(www.xing528.com)

图4.3　点的一次换面（替换H面）

从以上两投影图中，不难得出点的换面法作图步骤如下：

①建立新轴（新轴的建立是有条件的），这是用换面法来解题时最关键的一步。

②过保留投影作新轴的垂线。

③量取点的新投影到新轴的距离等于点的旧投影到旧轴的距离，从而得到点的新投影。

2）点的二次换面

点的二次换面是在点的一次换面的基础上，再进行的一个点的一次换面。图4.4表示在第二次变换投影面时，求作点的新投影的方法，其原理与点的一次换面时完全相同。

图4.4　点的二次换面

如图4.4（a）所示，在点A已进行一次换面后的V1/H体系中，再作新投影面H2代替H面，H2面必须垂直于V1面，得到新体系V1/H2，同时产生新投影轴X2。这时，点A在新投影面H2的投影a2到X2轴的距离（即点的新投影到新轴的距离），等于点A在H面上的投影a到X1轴的距离（即点的旧投影到旧轴的距离），也就是a2ax2=aax1=Aa′1。点A在H2面上的投影a2与点A在V1面上投影a′1的连线垂直于X2轴，即a2a′1⊥X2。图4.4（b）表示的是求点A二次换面后投影的作图过程。

同理，也可先作H1面代替H面（一次换面），得到V/H1体系，再作V2面代替V面（二次换面），得到V2/H1体系。在这种情况下，是由点A的正投影a′及第一次换面后的投影a1，作出点A在V2面上的新投影a′2，如图4.4（c）所示。二次换面的作图步骤与一次换面的作图步骤相同，只是重复进行一次。