画法几何与阴影透视：辅助平面法实践

当两曲面体能被一系列平面截出由直线或圆组成的截交线投影时，可用这种方法。

【例7.18】如图7.29所示，已知一直立圆柱和一水平圆柱成正交，求作它们的相贯线。

【解】分析：①从H投影可知，只有水平圆柱只有左半部分参与相交。配合V投影或W投影可看出直立圆柱也是部分贯穿水平圆柱，故知相贯线为一组。

②由于H投影前后对称，故相贯线V投影也是前后对称。

③因两圆柱的轴线均平行于正立投影面，作相贯线时，如采用正平面为辅助面，则辅助平面和两圆柱都交于素线，素线的交点便是属于相贯线的点。

图7.29　两不等径的圆柱相交

投影作图：如图7.29所示。

①先求特殊点：两圆柱特殊位置的素线相交，由水平投影和侧面投影确定特殊点Ⅰ、Ⅲ、Ⅵ、Ⅶ点，再求出这4个特殊点的正面投影。

②求一般点：在侧面投影中于水平圆锥的积聚投影上任取一个一般点Ⅱ点。根据点也属于直立圆柱的素线上这一特征，在水平投影上由直立圆柱的积聚投影上确定Ⅱ点的水平投影2。因此，可以求到Ⅱ点的正面投影2′。根据对称性，利用求解Ⅱ点时的作图过程线求到Ⅳ、Ⅵ、Ⅷ的三面投影。

③将求到的点用光滑的曲线依次连接，即得到两圆柱的相贯线的投影。

假定将图7.29的水平圆柱贯穿直立圆柱，则形成一水平圆柱通孔，此时其投影图如图7.30所示。V投影中的两段水平虚线是水平圆柱孔的上下轮廓素线，左右两段曲线和图7.29的相贯线完全一样。H投影中的两段水平虚线是圆柱孔的最前和最后两素线。

图7.30　直立圆柱贯一水平圆柱通孔

图7.31　两不等径的圆柱斜交

【例7.19】如图7.31所示，两不等径圆柱斜交，求其相贯线。

【解】分析：①从V投影或W投影知斜立圆柱全部贯入水平圆柱，再由H或W投影知斜立圆柱未贯出水平圆柱，故只求一组相贯线，它为一闭合的空间曲线，且上下对称。

②由于两圆柱的轴线均平行于H面，故采用水平面为辅助面来求属于相贯线的点。

③水平圆柱的W投影有积聚性，故相贯线的W投影为已知。(www.xing528.com)

投影作图：如图7.31所示。

①求属于相贯线的特殊点。最前点Ⅶ和Ⅲ，属于水平圆柱的最前素线，可由H投影7和3而得H投影7′和3′。点Ⅲ也是最左点，点Ⅶ是最右点。最高点Ⅰ和最低点Ⅴ，分别属于斜立圆柱的最上和最下素线，可由W投影1″和5″而得V投影1′和5′，最后定出H投影1和5。点Ⅲ又是最前点，Ⅳ又是最后点。

②求属于相贯线的一般点。采用上下对称位置的两水平面P截两圆柱于素线，素线的交点为Ⅱ（2，2′，2″）、Ⅳ（4，4′，4″），Ⅵ（6，6′，6″）和Ⅷ（8，8′，8″），它们都是相贯线的一般点。还可作适当的正平面为辅助面以求得属于相贯线适当的点。

③连点成相贯线。依次连接各点为曲线，从而得相贯线为Ⅰ—Ⅱ—Ⅲ—Ⅳ—Ⅴ—Ⅵ—Ⅶ—Ⅷ—Ⅰ。

④判别可见性。V投影前后重合，故1′—8′—7′—6′—5′为实线。H投影中，属于两圆柱均为可见面的交线投影是3—2—1—8—7，应画为实线；其余不可见，画为虚线。

【例7.20】如图7.32所示，求一正圆锥和一正圆柱的相贯线。

【解】分析：①从V投影观察，两立体都有全不参与相贯的部分，故为互贯。其相贯线是一根闭合的空间曲线。

②由于H投影前后对称，因而相贯线也是前后对称的。

③圆柱的W投影有积聚性，故相贯线的W投影为已知，它是圆柱在圆锥内的圆投影。可用已知圆锥表面的曲线的W投影求其H和V投影的方法来作。下面我们仍用辅助平面法来求。以水平面为辅助面，它与圆柱交于素线，与圆锥交于纬线圆。该素线和纬线圆的交点，便是属于相贯线的点。

投影作图：①求属于相贯线的特殊点。最高点Ⅰ和最低点Ⅴ，由圆柱W投影的积聚圆和圆锥右轮廓素线的交点1′和5′而得到1和5。最前点Ⅶ和最后点Ⅲ，属于圆柱最前素线，过此素线引水平面Qw，Qw交圆锥于水平圆与素线的交点即为Ⅶ（7，7′）和Ⅲ（3，3′）。

②求属于相贯线的一般点。在最高点和最低点之间可作适当的水平辅助面，即可求得属于相贯线适当的点。图中示出了水平面SW，SW交圆柱素线，交圆锥于水平圆，得到的交点便是一般点Ⅸ（9，9′）和Ⅹ（10，10′）。同理，作水平面TW求得一般点Ⅳ（4，4′）和Ⅵ点（6，6′）。

③连点成相贯线。依次连接1—8—9—7—6—5—4—3—10—2—1便得相贯线的H和V投影。

④判别可见性。对于H投影，圆锥面全可见，圆柱面的上半表面可见，故属于圆柱上半表面的3—10—2—1—8—9—7为可见，画为实线；属于圆柱下半表面的3—4—5—6—7为不可见，画为虚线。

如果将圆柱抽出，则成为挖去圆柱形缺口的圆锥。作图方法与上述完全相同。此时在H投影上1—8—9—7—6—5—4—3—10—2—1都属于圆锥表面，故应画为实线，且在圆锥的左侧对称有一同样的截交线。需要注意的是，由于是通孔，故还是应该画出，用虚线表示。V面投影做法相同，需画出圆柱孔上下两条轮廓素线，用虚线表示。

图7.32　圆柱与圆锥相贯

综上所述，当两圆柱相贯时，如两圆柱的轴线都平行于某一投影面，则采用该投影面的平行面为辅助面，因辅助平面与两圆柱都交于素线。

当回转体与圆柱相贯时，如回转体的轴线垂直于某一投影面，而圆柱的轴平行于该投影面，则采用该投影面的平行面为辅助平面。这样，辅助面交回转体于圆，此圆在该投影面上的投影反映实形，而辅助平面交圆柱于素线。

当两回转体相贯时，如两回转体的轴均垂直于某一投影面，则选取该投影面的平行面为辅助面。此时辅助平面和两回转体交于各自的纬线圆，而两纬线圆在该投影面上的投影均为反映实形的圆。